此条目介绍的是數學上最常用的意義,即物件的個數。关于其他的意義,请见「
基數 」。
在日常交流中,基數 或量數 是對應量詞 的數 ,例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數 相對,序數是對應排列 的數,例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。
在數學 上,基數 或势 ,即集合 中包含的元素 的「个数」(參見势的比较 ),是日常交流中基數的概念在數學上的精確化(並使之不再受限於有限情形)。有限集合 的基數,其意義與日常用語中的「基數」相同,例如
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle \{a, b, c\}}
的基數是3。無限集合 的基數,其意義在於比較兩個集的大小,例如整數集和有理數集的基數相同;整數集的基數比實數集的小。
歷史
阿列夫數 Aleph-0,最小的無限基數
康托尔 在1874年-1884年引入最原始的集合論 (現稱樸素集合論 )時,首次引入基數概念。
他最先考慮的是集合
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
和
{
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle \{2,3,4\}}
,它們並非相同 ,但有相同的基數 。驟眼看來,這是顯而易見,但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素?
康托爾的答案,是通过所謂的一一對應 ,即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到,兩個集合的基數自然相同。這答案,容易理解但卻是革命性的,因為用相同的方法即可比較任意集合的大小,包括無窮集合。
最先被考慮的無窮集合是自然數 集
N
=
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
{\displaystyle \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}}
及其無限子集 。他把所有與
N
{\displaystyle \mathbb{N}}
能一一對應的集為可數集 。令康托爾意外的是,原來
N
{\displaystyle \mathbb{N}}
的所有無限子集都能與
N
{\displaystyle \mathbb{N}}
一一對應。他把
N
{\displaystyle \mathbb{N}}
的基數稱為
ℵ
0
{\displaystyle \aleph_0}
,是最小的艾禮富數 。
康托爾發現,原來有理數 集合與代數數 集合也是可數的。於是乎在1874年初,他嘗試證明是否所有無限集合均是可數,其後他得出了實數 集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證,而在他1891年的論文中,他以簡單而巧妙的對角論證法 重新證明了這一結果。實數集的基數,記作c,代表連續統 。
接着康托爾構作一個比一個大的集合,得出一個比一個大的基數,而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論,需要一個新的語言描述,這就是康托爾發明集合論的主因。
康托爾隨後提出連續統假設 :c就是第二個超窮基數
ℵ
1
{\displaystyle \aleph_1}
,即継
ℵ
0
{\displaystyle \aleph_0}
之後最小的基數。現已知這假設是不能證明的,即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯 上可行的公理化集合论 。
动机
在非正式使用中,基数 就是通常被称为计数 的东西。它们同一于开始于
0
{\displaystyle 0}
的自然数 (就是
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle 0, 1, 2, \ldots}
)。计数可以形式化地定义为有限 基数,而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。
更正式地,一個非零的数可以用于两个目的:描述一个集合的大小,或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列,可以轻易的看出着两个概念是相符的,因为对于所有描述在序列中的一个位置的数,我们可以构造一个有正好大小的集合,比如3描述了
c
{\displaystyle c}
在序列
a
,
b
,
c
,
d
,
.
.
.
{\displaystyle a,b,c,d,...}
中的位置,并且我们可以构造有三个元素的集合
{
a
,
b
,
c
}
{\displaystyle \{a,b,c\}}
。但是在处理无限集合 的时候,在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面會引申出序数的概念,而大小則被这里描述的基数 所廣義化。
在基数的形式定义背后的直觀想法是,可以构造一个記號來指明集合的相对大小,而不需理會它有哪些種類的成员。对于有限集合这是容易的;只需简单的數算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小,得借助更加巧妙的概念。
一个集合
Y
{\displaystyle Y}
至少等大小于(或稱大于等于)一个集合
X
{\displaystyle X}
,如果有从
X
{\displaystyle X}
到
Y
{\displaystyle Y}
的一个单射 (一一映射)。一一映射对集合
X
{\displaystyle X}
的每个元素确定了一个唯一的集合
Y
{\displaystyle Y}
的元素。通过例子就最易理解了;假设有集合
X
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle X = \{1,2,3\}}
和
Y
=
{
a
,
b
,
c
,
d
}
{\displaystyle Y = \{a,b,c,d\}}
,我们可以注意到有一个映射 :
1
→
a
{\displaystyle 1 \to a}
2
→
b
{\displaystyle 2 \to b}
3
→
c
{\displaystyle 3 \to c}
这是一对一的,使用上述的大小概念,我們因此總結出
Y
{\displaystyle Y}
有大于等于
X
{\displaystyle X}
的势。注意元素
d
{\displaystyle d}
没有元素映射到它,但这是允许的,因为我们只要求一一映射,而不必须是一对一并且完全 的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。
我们可以把这个概念扩展到一个類似於等式的关系。两个集合
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
被称为有相同的'势',如果存在
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
之间的双射 。通过Schroeder-Bernstein定理 ,这等价于有从
X
{\displaystyle X}
到
Y
{\displaystyle Y}
和从
Y
{\displaystyle Y}
到
X
{\displaystyle X}
的两个一一映射。我们接着記之为
|
X
|
=
|
Y
|
{\displaystyle | X | = | Y |}
。
X
{\displaystyle X}
的基数自身经常被定义为有着
|
a
|
=
|
X
|
{\displaystyle | a | = | X |}
的最小序数
a
{\displaystyle a}
。这叫做冯·诺伊曼基数指派 ;为使这个定义有意义,必须证明所有集合都有同某个序数 一样的势;这个陈述就是良序原理 。然而即使不給集合的勢指派一個名字,討論集合之間相對的勢 還是可以的。
一個经典例子是无限旅馆悖论,也叫做希尔伯特旅馆悖论 。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满,而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2,房间2的客人转移到房间3,以此类推,腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段:
1
⟷
2
{\displaystyle 1 \longleftrightarrow 2}
2
⟷
3
{\displaystyle 2 \longleftrightarrow 3}
3
⟷
4
{\displaystyle 3 \longleftrightarrow 4}
...
n
⟷
n
+
1
{\displaystyle n \longleftrightarrow n+1}
...
在这种方式下我们可以看出集合
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{1,2,3,...\}}
和集合
{
2
,
3
,
4
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{2,3,4,...\}}
有相同的势,因为已知这两个集合之间存在双射。这便給"无限集合"提供了一個合適的定義,即是與自身某個真子集有著相同的勢的任何集合;在上面的例子中
{
2
,
3
,
4
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{2,3,4,...\}}
是
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{1,2,3,...\}}
的真子集。
当我们考虑这些大对象的时候,我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事實上是不一致的;通过考虑上面的例子,我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在,它必须跟起初的无限集合有一样的势。這時候可以使用另一種稱為序数 的形式概念,它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们會发现,势和序(ordinality)的概念对于无限的情況是有分歧的。
可以证明实数 的势大于刚才描述的自然数的势。透過对角论证法 可以一目瞭然;跟势相關的经典问题(比如连续统假设 )主要关注在某一对无限基数之间是否有別的基数。現時数学家已经在描述更大更大基数的性质。
因为基数是数学中如此常用的概念,有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势 、均势或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。
定義
首先,給出集合
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
,我們稱
X
{\displaystyle X}
的勢小於等於
Y
{\displaystyle Y}
,記作
|
X
|
≤
|
Y
|
{\displaystyle | X | \leq | Y |}
,當且僅當存在由
X
{\displaystyle X}
到
Y
{\displaystyle Y}
的單射 ;稱
X
{\displaystyle X}
的勢與
Y
{\displaystyle Y}
相等,記作
|
X
|
=
|
Y
|
{\displaystyle | X | = | Y |}
, 當且僅當存在由
X
{\displaystyle X}
到
Y
{\displaystyle Y}
的雙射 (即一一對應)。
康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理 指出如果
|
X
|
≤
|
Y
|
{\displaystyle | X | \leq | Y |}
及
|
Y
|
≤
|
X
|
{\displaystyle | Y | \leq | X |}
則
|
X
|
=
|
Y
|
{\displaystyle | X | = | Y |}
。
假設選擇公理 ,所有集合都可良序 ,且對於所有集合
X
{\displaystyle X}
與
Y
{\displaystyle Y}
,有
|
X
|
≤
|
Y
|
{\displaystyle | X | \leq | Y |}
或
|
Y
|
≤
|
X
|
{\displaystyle | Y | \leq | X |}
。因此,我們可以定義序數 ,而
集合
X
{\displaystyle X}
的基數 則是與
X
{\displaystyle X}
等勢的最小序數
α
{\displaystyle \alpha}
。
(若不接受選擇公理,我們也可對非良序集
X
{\displaystyle X}
定義基數,就是所有與
X
{\displaystyle X}
等勢的集的階中最小者。)
有限集的基数
自然數 的一種定義是
0
=
{
}
,
1
=
{
0
}
,
2
=
{
0
,
1
}
,
3
=
{
0
,
1
,
2
}
,
…
,
N
=
{
0
,
1
,
…
,
N
−
1
}
{\displaystyle 0=\{ \},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots ,N=\{0,1,\ldots ,N-1\}}
。可以見到,與數
N
{\displaystyle N}
等勢的集必有
N
{\displaystyle N}
個元素。如集合
{
2
,
3
,
5
}
{\displaystyle \{2, 3, 5\}}
的基数为
3
{\displaystyle 3}
。
以下是有限集的三個等價定義:它與某自然數等勢;它只有一個等勢的序數,就是它的基數;它沒有等勢的真子集。
无限集的基数
最小的無限集合是自然數集。
{
1
,
2
,
3
,
4
,
…
,
n
,
…
}
{\displaystyle \{1, 2, 3, 4,\ldots , n, \ldots \}}
与
{
2
,
4
,
6
,
8
,
…
,
2
n
,
…
}
{\displaystyle \{2, 4, 6, 8, \ldots , 2n, \ldots \}}
基数相同,因为可以让前一集合的
n
{\displaystyle n}
与后一集合的
2
n
{\displaystyle 2n}
一一对应。从这个例子可以看出,对于一个无穷集合来说,它可以和它的一个真子集 有相同的基数。
以下是无限集的四個等價定義:它不與任何自然數等勢;它有超過一個等勢的序數;它有至少一个真子集和它等勢;存在由自然數集到它的單射。
基數算術
我們可在基數上定義若干算術 運算,這是對自然數運算的推廣。
給出集合
X
{\displaystyle X}
與
Y
{\displaystyle Y}
,定義
X
+
Y
=
{
(
x
,
0
)
:
x
∈
X
}
∪
{
(
y
,
1
)
:
y
∈
Y
}
{\displaystyle X + Y = \{(x,0): x \in X\} \cup \{(y,1): y \in Y\}}
,則基數和是
|
X
|
+
|
Y
|
=
|
X
+
Y
|
{\displaystyle |X| + |Y| = |X + Y|}
。
若
X
{\displaystyle X}
與
Y
{\displaystyle Y}
不相交,則
|
X
|
+
|
Y
|
=
|
X
∪
Y
|
{\displaystyle |X| + |Y| = |X \cup Y|}
。
基數積是
|
X
|
|
Y
|
=
|
X
×
Y
|
{\displaystyle |X| |Y| = |X \times Y|}
其中
X
×
Y
{\displaystyle X \times Y}
是
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
的笛卡儿积 。
基數指數是
|
X
|
|
Y
|
=
|
X
Y
|
{\displaystyle |X|^{|Y|} = |X^{Y}|}
其中
X
Y
{\displaystyle X^{Y}}
是所有由
Y
{\displaystyle Y}
到
X
{\displaystyle X}
的函數 的集合。
在有限集時,這些運算與自然數無異。一般地,它們亦有普通算術運算的性質:
加法和乘法是可交換的 ,即
|
X
|
+
|
Y
|
=
|
Y
|
+
|
X
|
{\displaystyle |X|+|Y|=|Y|+|X|}
及
|
X
|
|
Y
|
=
|
Y
|
|
X
|
{\displaystyle |X||Y|=|Y||X|}
加法和乘法符合結合律 ,
(
|
X
|
+
|
Y
|
)
+
|
Z
|
=
|
X
|
+
(
|
Y
|
+
|
Z
|
)
{\displaystyle (|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)}
及
(
|
X
|
|
Y
|
)
|
Z
|
=
|
X
|
(
|
Y
|
|
Z
|
)
{\displaystyle (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)}
分配律 ,即
(
|
X
|
+
|
Y
|
)
|
Z
|
=
|
X
|
|
Z
|
+
|
Y
|
|
Z
|
{\displaystyle (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|}
。
|
X
|
|
Y
|
+
|
Z
|
=
|
X
|
|
Y
|
|
X
|
|
Z
|
{\displaystyle |X|^{|Y| + |Z|} = |X|^{|Y|} |X|^{|Z|}}
|
X
|
|
Y
|
|
Z
|
=
(
|
X
|
|
Y
|
)
|
Z
|
{\displaystyle |X|^{|Y| |Z|} = (|X|^{|Y|})^{|Z|}}
(
|
X
|
|
Y
|
)
|
Z
|
=
|
X
|
|
Z
|
|
Y
|
|
Z
|
{\displaystyle (|X||Y|)^{|Z|} = |X|^{|Z|} |Y|^{|Z|}}
無窮集合的加法及乘法(假設選擇公理)非常簡單。若
X
{\displaystyle X}
與
Y
{\displaystyle Y}
皆非空而其中之一為無限集,則
|
X
|
+
|
Y
|
=
|
X
|
|
Y
|
=
max
{
|
X
|
,
|
Y
|
}
{\displaystyle |X| + |Y| = |X||Y| = \max\{|X|, |Y|\}}
注意
2
|
X
|
{\displaystyle 2^{| X |}}
是
X
{\displaystyle X}
的幂集 之基數。由对角论证法 可知
2
|
X
|
>
|
X
|
{\displaystyle 2^{| X |} > | X |}
,是以並不存在最大的基數。事实上,基数的类 是真类 。
還有些關於指數的性質:
|
X
|
0
=
1
{\displaystyle |X|^{0} = 1}
(特别地,
0
0
=
1
{\displaystyle 0^{0} = 1}
)。
0
|
Y
|
=
0
{\displaystyle 0^{|Y|} = 0}
,若
Y
{\displaystyle Y}
非空。
1
|
Y
|
=
1
{\displaystyle 1^{|Y|} = 1}
。
若
|
X
|
≤
|
Y
|
{\displaystyle |X| \leq |Y|}
,則
|
X
|
|
Z
|
≤
|
Y
|
|
Z
|
{\displaystyle |X|^{|Z|} \leq |Y|^{|Z|}}
。
若
|
X
|
{\displaystyle |X|}
和
|
Y
|
{\displaystyle |Y|}
俱有限且大於1,而
Z
{\displaystyle Z}
是無窮集,則
|
X
|
|
Z
|
=
|
Y
|
|
Z
|
{\displaystyle |X|^{|Z|} = |Y|^{|Z|}}
。
若X是無窮而
Y
{\displaystyle Y}
是有限及非空,則
|
X
|
|
Y
|
=
|
X
|
{\displaystyle |X|^{|Y|} = |X|}
。
基數序列及連續統假設
對每一個基數,存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是
ℵ
0
{\displaystyle \aleph_0}
,康托尔稱下一個為
ℵ
1
{\displaystyle \aleph_1}
,相类似的,还定义了如下一个序列 :
ℵ
0
,
ℵ
1
,
…
,
ℵ
n
…
{\displaystyle \aleph_0, \aleph_1,\ldots,\aleph_n \ldots}
。
注意
c
=
2
ℵ
0
{\displaystyle c=2^{\aleph_0}}
。连续统假设猜想,就是
c
=
ℵ
1
{\displaystyle c=\aleph_1}
。
連續統假設是與一般集論公理(即Zermelo-Fraenkel公理系統加上選擇公理)是獨立的。
更一般的假設,即
ℵ
n
+
1
=
2
ℵ
n
{\displaystyle \aleph_{n+1}=2^{\aleph_n}}
。
广义连续统假设 ,就是對所有無窮基數
ℵ
{\displaystyle \aleph }
,都不存在介乎
ℵ
{\displaystyle \aleph }
與
2
ℵ
{\displaystyle 2^\aleph }
之間的基數。
參考文獻
Hahn, Hans, Infinity , Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics . New York: Simon and Schuster, 1956.
Halmos, Paul , Naive set theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
外部链接