满射

满射或盖射（英语：surjection、onto），或称满射函数或映成函数，一个函数$f:X\rightarrow Y$为满射，则对于任意的陪域 $Y$ 中的元素 $y$，在函数的定义域 $X$ 中存在一点 $x$ 使得 $f(x)=y$。换句话说，$f$是满射时，它的值域$f(X)$与陪域$Y$相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 $y\in Y$ 其原像 $f^{-1}(y)\subseteq X$ 不等于空集合。

例子和反例

函数$g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$，定义为$g(x)=x^2$，不是一个满射，因为，（举例）不存在一个实数满足$x^2=-1$。

但是，如果把$g$的陪域限制到只有非负实数，则函数$g$为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数$y$，我们能对$y=x^2$求解，得到$x=\pm \sqrt{y}$。

双射（单射与满射）	单射(one to one)但非满射
满射(onto)但非单射	非满射非单射

性质

根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。

若将定义在$X$上的函数$f$，视为其图像，即$\{(x, f(x)): x \in X\}$（集合论经常如此行），则满射与否，不仅是$f$的性质，而是映射（需要声明陪域）的性质。单射与否可以单凭图像判断，但满射则不同，不能单凭图像判断，因为要知道陪域。

右可逆函数

函数$g: Y \to X$称为函数$f: X \to Y$的右逆，意思是$f (g(y)) = y$对$Y$的所有元素$y$成立。简而言之，$g$的效果，可以$f$复原。用文字表示，$g$是$f$的右逆，意思是先做$g$后做$f$的复合$f \circ g$，等于$Y$上的恒等函数，即不造成任何变化。此处不要求$g$是$f$的真正反函数，因为另一次序的复合$g \circ f$，不必是$X$的恒等函数。换言之，$f$可以“复原”或“抵消”$g$，但不必被$g$复原或抵消。

若函数有右逆，则必为满射。但反之，“每个满射皆有右逆”此一命题，等价于选择公理，故在某些集合论（例如假设确定性公理）中，不必为真。

若$f: X \to Y$为满射，$B$为$Y$的子集，则$f(f^\mathrm{pre}(B)) = B$，即从预象$f^\mathrm{pre}(B)$，可以找回$B$。

右可消去

函数$f: X \to Y$是满射，当且仅当其为右可消去：给定任何两个有公共定义域和陪域的函数$g, h: Y \to Z$，若$g \circ f = h \circ f$，则有$g = h$。此性质的叙述用到函数和复合，可以对应推广成范畴的态射和复合。右可消的态射称为满态射或满同态。满射与满态射的关系在于，满射就是集合范畴中的满态射。

范畴论中，有右逆的态射必为满态射，但反之则不然。态射$f$的右逆$g$也称为$f$的截面。而有右逆的态射称为分裂满态射，是一类特殊的满态射。

作为二元关系

以$X$为定义域，$Y$为值域的函数，可以视为两集合之间的左全右唯一的二元关系，因为可将函数与图像等同。此观点下，由$X$到$Y$的满射，是右唯一而既左全又右全的关系。

定义域不小于陪域

满射的定义域，必有大于或等于其陪域的基数：若$f:X \to Y$为满射，则$X$的元素个数必定至少等于$Y$的元素个数（在基数意义下）。但此结论的证明，需要假定选择公理，以证明$f$有右逆，即存在函数$g: Y \to X$使得$f(g(y)) = y$对$Y$的任意元素$y$成立。满足此性质的$g$必为单射，故由基数大小比较的定义，有$|Y| \le |X|$。

特别地，若$X$和$Y$皆是有限，且两者的元素个数相同，则$f: X \to Y$是满射当且仅当$f$为单射。

给定两个集合$X$和$Y$，以$X \le ^* Y$表示“或者$X$为空，或者存在由$Y$至$X$的满射”。利用选择公理，可以证明，$X \le ^* Y$和$Y \le ^* X$两者一起，足以推出$|Y|=|X|$。此为康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的变式。

复合与分解

两个满射的复合仍是满射：若$f$和$g$皆为满射，且$g$的陪域是$f$的定义域，则$f \circ g$也是满射。反之，若$f \circ g$为满，则$f$是满射，但$g$不必为满射。与右可消去一节一样，从集合范畴的满射，可以推广到一般范畴的满态射。

任何函数都可以分解成一个满射与一个单射的复合：对任意$h : X \to Z$，都存在满射$f: X \to Y$和单射$g: Y \to Z$使得$h = g\circ f$，取法如下：定义$Y$为所有原像$h^\mathrm{pre}(z)$的集合，其中$z$历遍$h$的值域。该些原像两两互斥，且划分$X$。于是，$f$将每个$x$映到包含$x$的原像（此为$Y$的元素），然后$g$再将$Y$的每个元素（形如$h^\mathrm{pre}(z)$）映到相应的$z$。则$f$为满射（因为$Y$中的元素，是原像$h^\mathrm{pre}(z)$，且非空，故有某个$x \in h^\mathrm{pre}(z)$，所以由$f$的定义有$f(x) = h^\mathrm{pre}(z)$），而根据$g$的定义，其为单射。

导出满射和导出双射

任何函数，若将其陪域限制成值域，则可以视为满射，称为其导出满射。任何满射，若将定义域换成商集，即将函数值相同的参数，折叠成同一个“等价类”，则得到一个双射，其由等价类组成的集合，射去原函数的陪域。以符号表示，每个满射$f: A \to B$可以分解成先做一个商映射，再做一个双射。考虑以下等价关系：$x \sim y$当且仅当$f(x) = f(y)$。以$A/ {\sim}$表示此等价关系下，$A$的等价类的集合。换言之，$A/{\sim}$是$f$所有原像的集合。以$P : A \to A/{\sim}$表示将$x$映到等价类$[x]_\sim$的商映射，又设$f_P: A/{\sim} \to B$，定义为$f_P([x]_\sim) = f(x)$，则$f = f_P \circ P$。由定义知，$P$是满射，而$f_P$是双射。

相关条目

• 单射
• 双射

参考文献

• Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Springer. 2004 [1968]. ISBN 978-3-540-22525-6.