分数

各种各样的数

基本

$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$

正数 $\mathbb{R}^+$
自然数 $\mathbb{N}$
正整数 $\mathbb{Z}^+$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb{Q}$
代数数 $\mathbb{A}$
实数 $\mathbb{R}$
复数 $\mathbb{C}$
高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$

负数 $\mathbb{R}^-$
整数 $\mathbb{Z}$
负整数 $\mathbb{Z}^-$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb{I}$
二次无理数
 艾森斯坦整数 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb{H}$
八元数 $\mathbb{O}$
十六元数 $\mathbb{S}$
超实数 $^*\mathbb{R}$
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
 共四元数
 超复数
 超数
 超现实数

其他

素数 $\mathbb{P}$
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同余
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi = 3.141592653\dots$
自然对数的底 $e = 2.718281828\dots$
虚数单位 $i = \sqrt{-1}$
无穷大 $\infty$

分数（英语：Fraction）是用分式（分数式）表达成 $\frac{a}{b}$ 的数（ $a, b \in Z, b\neq 0$ ）。在上式之中， $b$ 称为分母（Denominator）而 $a$ 称为分子（Numerator）^[1]，可视为某件事物平均分成 $b$ 份中占 $a$ 份，读作“ $b$ 分之 $a$ ”。中间的线称为分线或分数线。有时人们会用 $a/b$ 来表示分数。

用法

分数有各种不同的用法与意义：

两个整数的比例： $\frac{a}{b} \equiv a:b\ (a, b \in \mathbb{Z}, a, b \neq 0)$ ，这是两个数量的比较关系。
有理数：可以表达为两个整数的分数的数称为有理数。就数系来说，整数分数与有理数是同义词。
整数除法： $\frac{a}{b} \equiv a \div b \ (a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0)$ ，结果会是一个整数、有限小数或循环小数。
等分： $\frac{1}{3}$ 表示将全部分成三等份，然后只取其中的一份。这称为单位分数 (unit fraction)，参见古埃及分数。 $\frac{1}{3}$ 也就是 $3$ 这个整数的倒数。

这些概念在数学里都是相通的，只是在不同的使用场合中有其实际意义。

分类

最简分数（既约分数）（Irreducible Fraction）: 分子是整数，分母是正整数，且分子和分母互素的分数。例如： $\frac{4}{~{}15~{}}$
真分数（Proper Fraction）: 除商小于1、大于0的分数，即分子小于分母的分数。当分子一样大的时候，分母越大则值就越小，当分母一样的时候，分子越大，数值就越大。例如： $\frac{3}{~{}7~{}}$
假分数（Top-heavy/Improper Fraction）: 假分数是指除商不小于1的分数，即分子等于或大于分母的分数，可写成带分数。例如： $\frac{5}{~{}3~{}}$ 和 $\frac{8}{~{}8~{}}$
带分数（mixed numeral、Mixed Fractions、Mixed Numbers^[1]）: 一个整数（whole number）加一个真分数，例如 $a \frac{b}{c}$ ，读作“a又c分之b”；又例如 $1 \frac{1}{~{}2~{}}$ ，就是一又二分之一。可写成假分数，与 $\frac{~{}( a \times c ) + b~{}}{c}$ 等价。
十进制分数（decimal fraction）: 分母为 $10$ 的次方的分数称为十进制分数，通常使用小数的形式来表达，例如， $\frac{1}{100}$ 一般记为 $0.01$ ，也可以百分率简记为 $1\%$ ，或是以 $10$ 的幂记为 $10^{-2}$ 。
单位分数：分子为1，分母是整数的分数。也可视为该整数的倒数。例如： $\frac{1}{~{}99~{}}$
古埃及分数（Egyptian fraction）: 将分数表达成单位分数之和。例如： $\frac{19}{~{}20~{}} = \frac{1}{~{}2~{}} + \frac{1}{~{}3~{}} + \frac{1}{~{}9~{}}+ \frac{1}{~{}180~{}}$
繁分数：分子和/或分母包含了分数，例如 $\frac{~{} \frac{a}{~{} b~{} }~{} }{\frac{c}{~{} d~{} }}$ 。可以用“外乘外、内乘内”的方法简化，即前面的式子等如 $\frac{ad}{~{}bc~{}}$ 。
连分数：外观如 $x = a_0 + \frac{1}{~{}a_1 + \frac{1}{~{}a_2 + \frac{1}{~{}a_3+\dots}}}$ 的分数，其中 $a_i$ 是整数。若只有有限个 $a_i$ 非零，则连分数是一个分数。

分数运算

分数如自然数般，跟从互联律、结合律、分配律和反除以零的规则。

约分、扩分及通分

一个分数约分后或扩分后，其分数与原来之分数的值相等，称为等值分数。

约分

“约分”是将一个分数的分子和分母同除以一个比1大的整数（它们的公约数）。约分后的分数和原来分数的值相等。 $\frac{3}{6}=\frac {1}{2}$

前面的数字的分子和分母皆除以三

扩分

“扩分”是将一个分数的分子和分母同乘以比1大的数。扩分后的分数和原来分数的值相等。 $\frac {1}{2}=\frac{2}{4}$

前面的数字的分子和分母皆乘以二

通分

“通分”是利用约分或扩分，将两个分母不同的分数，分别化为同分母的分数。

加法及减法

笔算分数的加减法时，必须将分母用予倍的方法化成同一数字才能进行同级分数之和或差，这个过程称为“扩分”、“通分”、“通分母扩分子”等等，为了方便地求得所须分母，计算时一般以加数和被加数的最小公倍数作为新的分母。然后将事先倍大了的分子加上，合成和后再作约简。例如：

$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$

乘法及除法

分数乘法最晚在中国秦朝即有，里耶秦简博物馆馆长彭成刚表示:里耶秦简秦朝“九九表”每枚木牍上竖写的数字连起来就是一个乘法运算，更为惊奇的是，中国当时还出现了分数乘法，例如二乘以二分之一等于一。分数的乘除无视分子母的特性，将分子和分母各自处理便可，但是由于整数除法亦容易引起小数，加上不适合出现于分数形式，而且除法也是乘法的逆函数，故此计算时一般将被除数化成其倒数，把除法改为乘法较为方便。例如：

\quad \frac{1}{5} \div  \frac{7}{11} = ( \frac{1}{5} \times 11 ) \div ( \frac{7}{11} \times 11 ) = ( \frac{1}{5} \times 11) \div 7 = ( \frac{1}{5} \times 11 \times \frac{1}{7}) \div ( 7  \times \frac{1}{7} )

= \frac{1}{5} \times \frac{11}{7} =  \frac{1 \times 11}{5 \times 7} = \frac{11}{35}

参考资料

↑ ^1.0 ^1.1 Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10].

外部链接

Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03].
埃里克·韦斯坦因. Fraction. MathWorld.
Fraction. Encyclopedia Britannica. [2015-06-03].
Fraction (mathematics). Citizendium. [2015-06-03].
Fraction. PlanetMath. [2015-06-03].
Online program for exact conversion between fractions and decimals
Online Fractions Calculator with detailed solution
Fraction Practice endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10].

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