交集

数学上，两个集合$A$和$B$的交集是含有所有既属于$A$又属于$B$的元素，而没有其他元素的集合。

基本定义

A和$B$的交集

$A$和$B$的交集写作“$A\cap B$”。形式上：

$x$属于$A\cap B$当且仅当

• $x$属于$A$且$x$属于$B$。

例如：集合$\{1,2,3\}$和$\{2,3,4\}$的交集为$\{2,3\}$。数字$9$不属于素数集合$\{2,3,5,7,11,\ldots \}$和奇数集合$\{1,3,5,7,9,11,\ldots \}$的交集。

若两个集合$A$和$B$的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作：$A\cap B = \varnothing$。例如集合$\{1,2\}$和$\{3,4\}$不相交，写作$\{1,2\}\cap \{3,4\} = \varnothing$。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合$A,B$，$C$和$D$的交集为$A\cap B\cap C\cap D =A\cap (B\cap (C\cap D))$。交集运算满足结合律。即：

$A\cap (B\cap C) =(A\cap B)\cap C$

任意交集

以上定义可推广到任意非空集合的集合的交集。若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则$x$属于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素$A,x$属于$A$。符号表示为：

$\left(x\in\bigcap\mathbf{M}\right)\leftrightarrow\left(\forall A\in\mathbf{M}, x\in A\right)$。

这一概念也蕴涵了前述的定义，例如，$A\cap B\cap C$是集合${A,B,C}$的交集。 （若 M 为空集，有时候谈论它的交集也是有意义的，请见空交集。）

这一概念的表示符号有多种。 集合论者有时用$\bigcap M$，有时用$\bigcap_{A\in M }A$。后一种写法可以一般化为$\bigcap_{i\in I} A_{i}$，表示集合$\{A_{i} :i \in I\}$的交集。这里$I$非空，而对于每个$I$里的$i,A_{i}$是一个集合。

当索引集$I$为自然数集合时，这种符号表示与无限序列相类似：

$\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i$

为了排版方便，上述符号也可以写成"$A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \ldots$"，尽管严格说来，像$A_{1} \cap (A_{2} \cap (A_{3} \cap \ldots$这样的写法是无意义的。（这个例子是可数个集合的交集，相当常用，可以参看$\sigma$-代数条目中的例子。）

最后，注意当符号$\cap$写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。（在HTML中，可以使用字体⋂，或者尝试∩。）

参见

• 朴素集合论
• 并集
• 补集
• 对称差