循环小数

循环小数

	1
	7

=0.142857142857…

循环小数，是从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数。可分为有限循环小数和无限循环小数。

定义

循环小数都为有理数的小数表示形式，例：

${5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots=1.25\overline{0}=1.24999999\cdots=1.24\overline{9}$

${1 \over 3}=0.3333333\cdots=0.\overline{3}$

${1 \over 7}=0.{\color{red}142857}{\color{blue}142857}\cdots=0.\overline{142857}$

性质

• 一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。
• 根据分数$\frac{b}{a}$的情况分开讨论

1.除数a为$2^m\times 5^n\times K$的倍数时，$b\div a$有max(m,n)个不循环位数，其中$b$为任意自然数，$K$为非$2^m,5^n$之其他数。

2.如果$1 \leqslant b < a$，a不是2或5的倍数，并且a与b互质，那么存在一个正整数e，e为$b\div a$的循环节位数，而e=$\operatorname{min}\left \{ e\in \mathbb{N}:10^e\equiv 1 \pmod{a} \right \}$。

$10^e \equiv 1 \pmod{a}$表示$10^e-1$可以整除a，或称$10^e$与1同余）

事实上以该参考文献的定理一公式推导式子:$\frac {10^d \times b}{a} = q +\frac {b}{a}$来看，$b>a$也成立，例如$\frac{2}{7}$与$\frac{9}{7}$，两者循环小数一致，因为$\frac{8}{7}=1+\frac{1}{7}$，只差别在商，余数皆为1(同余)故成立。

3.承接以上两点，当除数a可以质因数标准分解式表示成$(2^m\times 5^n)\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times$⋯$\times Pn^{Sn})$时，会有max(m,n)个不循环位数，和$E$个循环节位数。

其中，$P1^{S1}$, $P2^{S2}$,⋯,$Pn^{Sn}$分别各有e₁,e₂,...,e_n个循环节位数，存在一个最小公倍数$E=[$e₁,e₂,...,e_n$]$。

例：$\frac{11}{2^2\times3^2\times5^3\times7\times17}$的循环节个数？

答：前三位不循环（2 和 5 的最高次方为 3），循环节个数是 48（因为$3^2$的循环节位数为1，7的循环节位数为6，17的循环节位数为16，[1,6,16]=48）

化为分数的方法

1. 先看有几位“非循环节位数（${\color{blue}n\,\!}$）”和“循环节位数（${\color{red}m\,\!}$）”，算出后，将${\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}$摆于“分母”。
2. “分子”则是将“非循环节部分”和“循环节部分”并为一个数字，将其减去“非循环节部分”，即$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$，详细公式如下。
3. 公式：$0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_{\color{blue}n\,\!} \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_{\color{red}m\,\!} }={{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}}}$
4. 原理：
   1. 令$x=0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$。
   2. 则$10^n x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$──①式。
   3. $10^{n+m} x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$──②式。
   4. ②－①⇒$\left( 10^{n+m}-10^n \right)x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$。
   5. $\begin{align} x & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^{n+m}-10^n}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^n\left( 10^m-1 \right)}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {\begin{matrix} \underbrace{ 1000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}} \times {\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}}}} \\ \end{align}$。
5. 范例：$0.1 \overline{23} = \frac{123-1}{990} = \frac{61}{495}$。
   1. 令$x = 0.1 \overline{23}$
   2. 则$10x = 1 . \overline{23}$、$1000x = 123 . \overline{23}$
   3. 两式相减得$\left( 1000-10 \right)x = 123-1$，$990x = 122\,\!$
   4. ∴$x = \frac{61}{495}$。

计算方法

利用短除法可以将分数(有理数，$\mathbb{Q}$)转化为循环小数。

例如$\frac{3}{7}$可以用短除法计算如下：

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

表示方法

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

• 使用“上横线”表示，如：

${1 \over 70}=0.0\overline{142857}$

• 使用“上点”表示，如：

${1 \over 70}=0.0\dot{1}4285\dot{7}$

• 使用“大括号”表示，如：

${1 \over 70}=0.0\{142857\}$

缺点

不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如$1.000000\cdots=1.\overline{0}=0.\overline{9}=0.999999\cdots$

与进位制系统密切相关

由于循环小数与进位制系统密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如：${1 \over 17}=0.{\color{red}0588235294117647}{\color{blue}0588235294117647}\cdots=0.\overline{0588235294117647}$

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如${1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color{red}0F}{\color{blue}0F}\cdots_{(16)}=0.\overline{0F}_{(16)}$

参见

• 0.999…
• Midy定理