子集

A是B的子集

子集，为某个集合中一部分的集合，故亦称部分集合。

若$A$和$B$为集合，且$A$的所有元素都是$B$的元素，则有：

• $A$是$B$的子集（或称包含于$B$）；
• $A\subseteq B$；
• $B$是$A$的父集/超集（或称包含$A$）；
• $B\supseteq A$.

所有集合$B$都是其本身的子集。 不等于$B$的$B$的子集称为真子集。 若$A$是$B$的真子集，则写作$A\subsetneqq B$。 "是……的子集"的关系称为包含。

定义

假设有$A$和$B$两个集合，如果$A$中的每个元素都是$B$的元素，则：

• $A$是$B$的 子集，记作 $A \subseteq B$

也可以说

• $B$是$A$的 超集，记作 $B \supseteq A$

如果$A$是$B$的子集，但$A$不等于$B$（即$B$中至少存在一个元素不在$A$集合中），则：

• $A$是$B$的 真子集，记作 $A \subsetneqq B$

也可以说

• $B$是$A$ 的 真超集，记作 $B \supsetneqq A$

符号

符号$\subseteq$表示任何子集关系，符号$\subsetneqq$表示真子集关系。$\subset$也是一个很常见的符号，但其含义容易混淆。

有人用$\subset$和$\supset$表示任何子集和超集关系，即$\subseteq$和$\supseteq$所分别代表的含义。所以在这些作者的文章中，对于任意集合$A$，$A \subset A$ 始终成立。

也有人用$\subset$和$\supset$表示真子集和真超集的概念，即$\subsetneqq$和$\supsetneqq$所分别代表的含义。这样$\subseteq$和$\subset$就类似于不等符号$\leq$和$<$的关系。例如如果 $x \leq y$，那么$x$可能等于$y$也可能不等于，而如果 $x < y$，那么$x$就一定不等于$y$。换用$\subset$表示真子集，如果 $A \subseteq B$，那么$A$可能等于$B$也可能不等于，而如果 $A \subset B$，那么$A$就一定不等于$B$。

ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配：使用$\subseteq$表示子集关系，$\subset$表示真子集关系；或者使用$\subset$表示子集关系，使用$\subsetneqq$表示真子集关系。

举例

• 集合$\left \{ 1,2 \right \}$是集合$\left \{ 1,2,3 \right \}$的真子集。
• 自然数集合是有理数集合的真子集。
• 集合$\{x:x$是大于2000的素数$\}$是集合$\{x:x$是大于1000的奇数$\}$的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，写作 $\varnothing$，是任意集合$X$的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

性质

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若$A,B,C$是集合，则：

自反性：

• $A\subseteq A$

反对称性：

• $A\subseteq B$且$B\subseteq A$当且仅当$A=B$

传递性：

• 若$A\subseteq B$且$B\subseteq C$则$A\subseteq C$

这个命题说明：对任意集合$S$，$S$的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若$A,B,C$是集合$S$的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

• $\varnothing\subseteq A\subseteq S$（ $\varnothing\subseteq A$由命题1给出）

存在并运算：

• $A\subseteq A\cup B$
• 若$A\subseteq C$且$B\subseteq C$则$A\cup B\subseteq C$

存在交运算：

• $A\cap B\subseteq A$
• 若$C\subseteq A$且$C\subseteq B$则$C\subseteq A\cap B$

命题4:对任意两个集合$A$和$B$，下列表述等价：

• $A\subseteq B$
• $A\cap B=A$
• $A\cup B=B$
• $A-B=\varnothing$
• $B\subseteq A'$

这个命题说明：表述"$A\subseteq B$"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

参见

• 幂集：某集合的全部子集组成的集合。