分配律

分配律（distributive property）是二元运算的一个性质，它起源于基本代数运算，同时部分抽象代数运算亦符合该定律

定义

设$*$及$+$是定义在集合$S$上的两个二元运算，我们说

• $*$对于$+$满足左分配律，如果：

$\forall x,y,z \in S, x * (y+z) = (x*y)+(x*z)$;

• $*$对于$+$满足右分配律，如果：

$\forall x,y,z \in S, (y+z)*x = (y*x)+(z*x)$;

• 如果$*$对于$+$同时满足左分配律和右分配律，那么我们说$*$对于$+$满足分配律。

如果$*$满足交换律，那么以上三条语句在逻辑上是等价的。

例子

• 除了实数以外，自然数、复数和基数中的乘法都对加法满足分配律。
• 然而，序数的乘法对加法只满足左分配律，不满足右分配律。
• 矩阵乘法对矩阵加法满足分配律（但不满足交换律）。
• 集合的并集对交集满足分配律，交集对并集也满足分配律。另外，交集对对称差也满足分配律。
• 逻辑析取对逻辑合取满足分配律，逻辑合取对逻辑析取也满足分配律。另外，逻辑合取对逻辑异或也满足分配律。
• 对于实数（或任何全序集合），最大值对最小值满足分配律，反之亦然：

$\operatorname{max}(a,\operatorname{min}(b,c)) = \operatorname{min}(\operatorname{max}(a,b),\operatorname{max}(a,c))$

$\operatorname{min}(a,\operatorname{max}(b,c)) = \operatorname{max}(\operatorname{min}(a,b),\operatorname{min}(a,c))$。

• 对于整数，最大公因子对最小公倍数满足分配律，反之亦然：

$\operatorname{gcd}(a,\operatorname{lcm}(b,c)) = \operatorname{lcm}(\operatorname{gcd}(a,b),\operatorname{gcd}(a,c))$

$\operatorname{lcm}(a,\operatorname{gcd}(b,c)) = \operatorname{gcd}(\operatorname{lcm}(a,b),\operatorname{lcm}(a,c))$。

• 对于实数，加法对最大值满足分配律，对最小值也满足分配律：

$a + \operatorname{max}(b,c) = \operatorname{max}(a+b,a+c)$

$a + \operatorname{min}(b,c) = \operatorname{min}(a+b,a+c)$。

环的分配律

分配律在环和分配格中很常见。

一个环有两个二元运算（通常称为$+$和$*$），其中一个要求是$*$必须对$+$满足分配律。

格是另外一种具有两个二元运算$\wedge$和$\vee$的代数结构。如果这两个运算中的任何一个（例如$\wedge$）对另外一个（$\vee$）满足分配律，则$\vee$对$\wedge$也一定满足分配律，这时这个格便称为分配格。

参见

• 交换律
• 结合律
• 传递关系