在数学 中,幂集公理 是公理化集合论 的Zermelo-Fraenkel公理 之一。
在Zermelo-Fraenkel公理的形式语言 中,这个公理读做:
∀
A
,
∃
P
(
A
)
,
∀
x
:
x
∈
P
(
A
)
⟺
(
∀
y
:
y
∈
x
⟹
y
∈
A
)
{\displaystyle \forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff(\forall y: y \in x \implies y \in A)}
或简写为:
∀
A
,
∃
P
(
A
)
,
∀
x
:
x
∈
P
(
A
)
⟺
x
⊆
A
{\displaystyle \forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff x \subseteq A}
换句话说:
给定任何 集合 A ,有着 一个集合
P
(
A
)
{\displaystyle \mathcal{P}(A)}
使得,给定任何集合x ,x 是
P
(
A
)
{\displaystyle \mathcal{P}(A)}
的成员,当且仅当 x 是A 的子集。
通过外延公理 可知这个集合是唯一的。我们可以称集合
P
(
A
)
{\displaystyle \mathcal{P}(A)}
是A 的幂集 。所以这个公理的本质是:
所有集合都有一个幂集。
幂集公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命题出现在所有可替代的集合论 的公理化中。
推论
幂集公理允许定义两个集合
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
的笛卡儿积 :
X
×
Y
=
{
(
x
,
y
)
:
x
∈
X
∧
y
∈
Y
}
{\displaystyle X \times Y = \{(x, y) : x \in X \land y \in Y \}}
。
笛卡儿积是个集合因为
X
×
Y
⊆
P
(
P
(
X
∪
Y
)
)
{\displaystyle X \times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))}
。
你可以递归定义 集合的任何有限 的搜集 的笛卡儿积:
X
1
×
⋯
×
X
n
=
(
X
1
×
⋯
×
X
n
−
1
)
×
X
n
{\displaystyle X_1 \times \cdots \times X_n =(X_1 \times \cdots \times X_{n-1}) \times X_n }
。
注意笛卡儿积的存在性在不包含幂集公理的Kripke-Platek集合论 中是可证明的。
引用
Paul Halmos, Naive set theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
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注释