二元数

在线性代数中，二元数（英语：Dual number）是实数的推广。二元数中有一个“二元数单位”ε，它的平方ε² = 0（亦即ε是幂零元）。二元数的集合能在实数之上组成一个二维、符合交换律的环结合代数。每一个二元数z都有z=a+bε的特性，其中a和b是实数。

矩阵表示法

使用矩阵，二元数可表示为：

$\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}\quad$ 及 $\quad a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$.

二元数的和与积可以寻常的矩阵加法、矩阵乘法计算。在二元数的代数中，两种数学运算都符合交换律、结合律。

二元数的矩阵表示与复数的矩阵表示类似。然而这并非唯一的表示法，参见2×2实矩阵。如同复平面与双曲复数平面，二元数也是平面代数的实现方式之一。

几何

定义z* = a − bε，二元数的“单位圆”包括了那些a值为1或−1的二元数，因为z z* = 1。然而注意到

$\exp(b \varepsilon) = \left(\sum^\infty_{n=0} (b\varepsilon)^n / n!\right) = 1 + b \varepsilon \!$,

所以ε轴的指数映射仅涵盖半“圆”。

若a ≠ 0且m = b /a，则z = a(1 + m ε)为二元数z的极分解，斜率m则与辐角相关。二元数平面中的“旋转”等价于一个垂直错切，原因是(1 + p ε)(1 + q ε) = 1 + (p+q) ε。

伽利略变换

在绝对时空中，伽利略变换

$(t',x') = (t,x)\begin{pmatrix}1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix}$，亦即

$\ \ t'=t,\ \ x' = vt + x \!$，

将静止参考系与带有速度v移动参考系做联结。使用二元数，t + x ε表示一维空间与时间中的事件，伽利略变换就可以采乘上(1 + v ε)来达成。

循环

给定两个二元数p与q，它们决定了一组z的集合，使得z到p与q的直线的斜率差（伽利略角）是常数。这个集合是二元数平面上的“循环”。设置直线斜率差为常数的方程式是z实部的二次方程式，则一个循环实则是抛物线。二元数平面的“循环旋转”实际上是二元数投影线的运动。

根据Isaak Yaglom的著作《简易非欧几何及其物理基础》 (1979) (pp. 92,3)，循环Z = {z : y = α x²}在错切的组合中保持不变：

$x_1 = x ,\ \ y_1 = vx + y \ \$

平移项：

$x' = x_1 = v/2a ,\ \ y' = y_1 + v^2/4a \$。

这个组合是一个循环旋转（cyclic rotation），V. V. Kisil做了更进一步的推演。

除法

对于由两个二元数所组成的分数来说，当分母的实数部分非零的时候，我们可以计算出那个分数的值。二元数的除法和复数的除法相似：两者皆把分子和分母乘以分母的共轭以约去分子和分母的非实数部分。

所以，如果要计算这个二元数分数的值：

${a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon}$

我们需要把分子和分母乘以分母的共轭：

$= {(a+b\varepsilon)(c-d\varepsilon) \over (c+d\varepsilon)(c-d\varepsilon)} = {ac-ad\varepsilon+bc\varepsilon-bd\varepsilon^2 \over (c^2+cd\varepsilon-cd\varepsilon-d^2\varepsilon^2)} = {ac-ad\varepsilon+bc\varepsilon-0 \over c^2-0}$

$= {ac + \varepsilon(bc - ad) \over c^2}$

$= {a \over c} + {(bc - ad) \over c^2}\varepsilon$

而二元数除数在c为非零时才有值。

但是，如果c为零而d不为零时，这条方程式：

${a+b\varepsilon = (x+y\varepsilon) d\varepsilon} = {xd\varepsilon + 0}$

1. 当a非零时没有解
2. 当a为零时，以下的二元数都是它的解：

${b \over d} + {y\varepsilon}$.

幂

以下是二元数的幂的计算方法：

$(a+b\varepsilon)^{c+d\varepsilon}=a^c+\varepsilon(b (c a^{c-1})+d (a^c \ln a))$

参见

• 克利福德代数
• 外代数
• 微扰理论