超限归纳法

超限归纳法（英语：Transfinite Induction）是数学归纳法向（大）良序集合比如基数或序数的集合的扩展。

超限归纳

假设只要对于所有的 β < α，P(β) 为真，则 P(α) 也为真。那么超限归纳告诉我们 P 对于所有序数为真。

就是说，如果 P(α) 为真只要 P(β) 对于所有 β < α 为真，则 P(α) 对于所有 α 为真。或者更实用的说：若要证明所有序数 α 都符合性质 P，你可以假定它对于所有更小的 β < α 已经是成立的。

通常证明被分为三种情况：

留意，以上三种情况(证明方法)都是相同的，只是所考虑的序数类型不同。正式来说不用分开考虑它们，但在实践时，因为它们的证明过程通常相差很大，所以需要分别表述。在一些情况下，“零情况”会被视为一种“极限情况”，因此可以使用极限序数来证明。

超限递归是一种构造或定义某种对象的方法，它与超限归纳的概念密切相关。例如，可以定义以序数为下标的集合序列 A_α ，只要指定三个事项：

更形式的说，我们陈述超限递归定理如下。给定函数类 G₁, G₂, G₃，存在一个唯一的超限序列 F 带有 dom(F) = $Ord$ （ $Ord$ 是所有序数的真类），使得

F(0) = G₁( $\emptyset$ )
F( $\alpha + 1$ ) = G₂(F( $\alpha$ ))，对于所有 $\alpha \in Ord$
F( $\alpha$ ) = G₃(F $\upharpoonright \alpha$ )，对于所有极限序数 $\alpha \neq 0$ 。这里的F $\upharpoonright \alpha$ 是指F 在 $\{\beta\in Ord: \beta<\alpha\}$ 上的限制。