数学 上,分离变量法 是一种解析常微分方程 或偏微分方程 的方法。使用这方法,可以藉代数 来将方程式重新编排,让方程式的一部分只含有一个变量,而剩余部分则跟此变量无关。这样,隔离出的两个部分的值,都分别等于常数,而两个部分的值的代数和 等于零。
常微分方程
假若,一个常微分方程可以写为
d
d
x
f
(
x
)
=
g
(
x
)
[
h
(
f
(
x
)
)
]
{\displaystyle \frac{d}{dx} f(x) = g(x)[h(f(x))]}
。
设定变量
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y = f(x)}
。那么,
d
y
d
x
=
g
(
x
)
h
(
y
)
{\displaystyle \frac{dy}{dx}=g(x)h(y)}
.(1)
只要是
h
(
y
)
≠
0
{\displaystyle h(y)\ne 0}
,就可以将方程式两边都除以
h
(
y
)
{\displaystyle h(y)}
,再都乘以
d
x
{\displaystyle dx}
:
d
y
h
(
y
)
=
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle {dy \over h(y)} = {g(x)dx}}
。
这样,可以将两个变量
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数
k
{\displaystyle k}
。因此,可以得到两个较易解的常微分方程;
∫
d
y
h
(
y
)
=
∫
g
(
x
)
d
x
=
k
{\displaystyle \int{dy \over h(y)} = \int{g(x)dx}=k}
。
第二种方法
有些不喜欢用莱布尼茨标记 的数学家,或许会选择将公式 (1) 写为
1
h
(
y
)
d
y
d
x
=
g
(
x
)
{\displaystyle \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)}
。
这写法有一个问题:无法比较明显的解释,为什么这方法叫作分离变量法?
随着
x
{\displaystyle x}
积分公式的两边,可以得到
∫
1
h
(
y
)
d
y
d
x
d
x
=
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx}
。(2)
应用变量积分法 ,
∫
1
h
(
y
)
d
y
=
∫
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx }
。
假如,可以求算这两个积分,则这常微分方程有解。这方法允许将导数
d
y
d
x
{\displaystyle \frac{dy}{dx}}
当做可分的分式 看待,可以较方便的解析可分的常微分方程。这在实例 (II) 的解析里会有更详细的解释,
实例 (I)
常微分方程式
d
d
x
f
(
x
)
=
f
(
x
)
(
1
−
f
(
x
)
)
{\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1 - f(x))}
可以写为
d
y
d
x
=
y
(
1
−
y
)
{\displaystyle \frac{dy}{dx}=y(1-y)}
;(3)
其中,
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
。
设定
g
(
x
)
=
1
{\displaystyle g(x)=1}
,
h
(
y
)
=
y
(
1
−
y
)
{\displaystyle h(y)=y(1 - y)}
。套用公式 (1) ,这常微分方程式是可分的。
进一步编排,则
d
y
y
(
1
−
y
)
=
d
x
{\displaystyle \frac{dy}{y(1 - y)}=dx}
。
变量
x
{\displaystyle x}
,
y
{\displaystyle y}
分别在公式的两边。将两边积分,
∫
d
y
y
(
1
−
y
)
=
∫
d
x
{\displaystyle \int\frac{dy}{y(1 - y)}=\int dx}
。
积分的结果是
ln
|
y
|
−
ln
|
1
−
y
|
=
x
+
C
{\displaystyle \ln |y| - \ln |1 - y|=x+C}
;
其中,
C
{\displaystyle C}
是个积分常数 。稍加运算,则可得
y
=
1
1
+
B
e
−
x
{\displaystyle y=\frac{1}{1+Be^{ - x}}}
。
在这里,检查此解答的正确与否。计算导数
d
y
d
x
{\displaystyle \frac{dy}{dx}}
。答案应该与原本的问题相同。(必须仔细地计算绝对值。绝对符号内不同的正负值,分别地造成了
B
{\displaystyle B}
的正值与负值。而当
y
=
1
{\displaystyle y=1}
时,
B
=
0
{\displaystyle B=0}
)。
特别注意,由于将公式 (3) 的两边除以
y
{\displaystyle y}
跟
(
1
−
y
)
{\displaystyle (1 - y)}
,必须检查两个函数
y
(
x
)
=
0
{\displaystyle y(x) = 0}
与
y
(
x
)
=
1
{\displaystyle y(x) = 1}
是否也是常微分方程式的解答(在这个例子里,它们都是解答)。参阅奇异解 。
实例 (II)
人口数值的成长时常能够用常微分方程来表达
d
P
d
t
=
k
P
(
1
−
P
K
)
{\displaystyle \frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)}
;
其中,
P
{\displaystyle P}
是人口数值函数,
t
{\displaystyle t}
是时间参数,
k
{\displaystyle k}
是成长的速率,
K
{\displaystyle K}
环境的容纳能力。
将方程式的两边都除以
P
(
1
−
P
K
)
{\displaystyle P\left(1-\frac{P}{K}\right)}
.再随着时间
t
{\displaystyle t}
积分,
∫
1
P
(
1
−
P
K
)
d
p
d
t
d
t
=
∫
k
d
t
{\displaystyle \int\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}\frac{dp}{dt}\,dt=\int k\,dt}
。
应用变量积分法 ,
∫
d
P
P
(
1
−
P
K
)
=
∫
k
d
t
{\displaystyle \int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt}
。
稍微运算,则可得
P
(
t
)
=
K
1
+
A
e
−
k
t
{\displaystyle P(t)=\frac{K}{1+Ae^{ - kt}}}
;
其中,
A
{\displaystyle A}
是常数。
偏微分方程
给予一个
n
{\displaystyle n}
元函数
F
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle F(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n)}
的偏微分方程 ,有时候,为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程 ,可以猜想一个解答;解答的形式为
F
=
F
1
(
x
1
)
F
2
(
x
2
)
⋯
F
n
(
x
n
)
{\displaystyle F = F_1(x_1) F_2(x_2) \cdots F_n(x_n) }
,
或者
F
=
f
1
(
x
1
)
+
f
2
(
x
2
)
+
⋯
+
f
n
(
x
n
)
{\displaystyle F = f_1(x_1) + f_2(x_2) + \cdots + f_n(x_n) }
。
时常,对于每一个自变量
x
i
{\displaystyle x_i}
,都会伴随着一个分离常数 。如果,这个方法成功,则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation )。
实例 (III)
假若,函数
F
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle F(x,\ y,\ z)}
的偏微分方程为
∂
F
∂
x
+
∂
F
∂
y
+
∂
F
∂
z
=
0
{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0}
。
猜想解答为
F
(
x
,
y
,
z
)
=
X
(
x
)
+
Y
(
y
)
+
Z
(
z
)
{\displaystyle F(x,y,z) = X(x) + Y(y) + Z(z)}
。
那么,
d
X
d
x
+
d
Y
d
y
+
d
Z
d
z
=
0
{\displaystyle \frac{dX}{dx} + \frac{dY}{dy} + \frac{dZ}{dz} = 0 }
。
因为
X
(
x
)
{\displaystyle X(x)}
只含有
x
{\displaystyle x}
、
Y
(
y
)
{\displaystyle Y(y)}
只含有
y
{\displaystyle y}
、
Z
(
z
)
{\displaystyle Z(z)}
只含有
z
{\displaystyle z}
,这三个函数的导数都分别必须等于常数。更明确地说,将一个偏微分方程改变为三个很简单的常微分方程:
d
X
d
x
=
c
1
{\displaystyle \frac{dX}{dx} = c_1}
、
d
Y
d
y
=
c
2
{\displaystyle \frac{dY}{dy} = c_2}
、
d
Z
d
z
=
c
3
{\displaystyle \frac{dZ}{dz} = c_3}
;
其中,
c
1
,
c
2
,
c
3
{\displaystyle c_1,\ c_2,\ c_3}
都是常数,
c
1
+
c
2
+
c
3
=
0
{\displaystyle c_1 + c_2 + c_3 = 0}
。
偏微分方程的答案为
F
(
x
,
y
,
z
)
=
c
1
x
+
c
2
y
+
c
3
z
+
c
4
{\displaystyle F(x,y,z) = c_1 x + c_2 y + c_3 z + c_4}
;
其中,
c
4
{\displaystyle c_4}
是常数。
实例 (IV)
思考一个典型的偏微分方程,
∇
2
v
+
λ
v
=
∂
2
v
∂
x
2
+
∂
2
v
∂
y
2
+
λ
v
=
0
{\displaystyle \nabla^2 v + \lambda v = {\partial^2 v \over \partial x^2} + {\partial^2 v \over \partial y^2} + \lambda v = 0}
。
首先,猜想答案的形式为
v
=
X
(
x
)
Y
(
y
)
{\displaystyle v = X(x)Y(y)}
。
代入偏微分方程,
∂
2
∂
x
2
[
X
(
x
)
Y
(
y
)
]
+
∂
2
∂
y
2
[
X
(
x
)
Y
(
y
)
]
+
λ
X
(
x
)
Y
(
y
)
=
0
{\displaystyle {\partial^2\over\partial x^2} [X(x)Y(y)]+{\partial^2\over\partial y^2}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0}
。
或者,用单撇号标记,
X
″
(
x
)
Y
(
y
)
+
X
(
x
)
Y
″
(
y
)
+
λ
X
(
x
)
Y
(
y
)
=
0
{\displaystyle X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)= 0}
。
将方程式的两边除以
X
(
x
)
Y
(
y
)
{\displaystyle X(x)Y(y)}
,则可得
X
″
(
x
)
X
(
x
)
=
−
Y
″
(
y
)
+
λ
Y
(
y
)
Y
(
y
)
{\displaystyle {X''(x)\over X(x)}= - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}}
。
由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关,表达式恒等于常数
k
{\displaystyle k}
:
X
″
(
x
)
X
(
x
)
=
k
=
−
Y
″
(
y
)
+
λ
Y
(
y
)
Y
(
y
)
{\displaystyle {X''(x)\over X(x)} = k = - {Y''(y)+\lambda Y(y)\over Y(y)}}
。
因此,可以得到两个新的常微分方程式:
X
″
(
x
)
−
k
X
(
x
)
=
0
{\displaystyle X''(x) - kX(x)=0}
、
Y
″
(
y
)
+
(
λ
+
k
)
Y
(
y
)
=
0
{\displaystyle Y''(y)+(\lambda+k) Y(y) =0}
。
这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程 。假若,
k
<
0
<
λ
+
k
{\displaystyle k < 0<\lambda+k}
,则这两个常微分方程都是用来表达谐振问题 的方程式。解答为
X
(
x
)
=
A
x
cos
(
−
k
x
+
B
x
)
{\displaystyle X(x)=A_x\cos(\sqrt{- k}\ x+B_x)}
,
Y
(
y
)
=
A
y
cos
(
λ
+
k
y
+
B
y
)
{\displaystyle Y(y)=A_y\cos(\sqrt{\lambda+k}\ y+B_y)}
;
其中,
A
x
,
A
y
{\displaystyle A_x,\ A_y}
是振幅常数,
B
x
,
B
y
{\displaystyle B_x,\ B_y}
是相位常数。这些常数可以由边界条件 求得。
参阅
参考文献
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 。