夹逼定理

夹逼定理，又称夹挤定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理（英语：Squeeze theorem），是有关函数的极限的数学定理。指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。

设$I$为包含某点$a$的区间，$f,g,h$为定义在$I$上的函数。若对于所有属于$I$而不等于$a$的$x$，有：

• $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$；
• $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.$；

则$\lim_{x \to a} f(x) = L$。

$g(x)$和$h(x)$分别称为$f(x)$的下界和上界。

$a$若在$I$的端点，上面的极限是左极限或右极限。 对于$x \to \infty$，这个定理还是可用的。

例子

$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac {1} {x}$

在任何包含0的区间上，除了$x=0$，$f(x) = x^2 \sin\frac{1}{x}$均有定义。

对于实数值，正弦函数的绝对值不大于1，因此$f(x)$的绝对值也不大于$x^2$。设$g(x) = -x^2$, $h(x) = x^2$：

$-1 \le \sin\frac {1} {x} \le 1$

$-x^2 \le x^2 \sin\frac {1} {x} \le x^2$

$g(x) \le f(x) \le h(x)$

$\lim_{x \to 0} \ g(x) = \lim_{x \to 0} \ h(x) = 0$，根据夹挤定理

$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。

$\lim_{x \to 0} \frac {\sin x} {x}$

首先用几何方法证明：若$0 < x < \frac{\pi }{2}$，$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$。

称(1,0)为D。A是单位圆圆周右上部分的一点。$C$在$OD$上，使得$AC$垂直$OD$。过$A$作单位圆的切线，与$OD$的延长线交于$E$。

由定义可得$x=\angle AOD=arc AD$，$\tan x = AE$。

$AC < AD < arc AD$

$\sin x < x$

$\frac{\sin x}{x} < 1$

$arc AD < AE$

$x < \tan x$

$\cos x < \frac{\sin x}{x}$

因为$\lim_{x \to 0^{+}} \cos x = 1$，根据夹挤定理

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin x}{x} = 1$。

另一边的极限可用这个结果求出。

高斯函数

高斯函数的积分的应用包括连续傅立叶变换和正交化。 一般高斯函数的积分是$I(a) = \int_{0}^a e^{-x^2}\,dx$，现在要求的是$I(\infty) = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx$。

被积函数对于y轴是对称的，因此$I(\infty)$是被积函数对于所有实数的积分的一半。

$(2I)^2 = \left[2 \int_{0}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \left[ \int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)} dx dy$

这个二重积分在一个$(-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)$的正方形内。它比其内切圆大，比外接圆小。这些可用极坐标表示：

$\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta \le (2I)^2 \le \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta$

$\pi (1-e^{-a^2}) \le (2I)^2 \le \pi (1-e^{-2a^2})$

$\lim_{a \to \infty} \pi \left(1-e^{-a^2}\right) = \lim_{a \to \infty} \pi \left(1-e^{-2a^2}\right) = \pi \vdash [2I(\infty)]^2 = \pi$

$\lim_{a \to \infty} (2I)^2 = \pi$

$I(\infty) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

证明

极限为0的情况

若$\forall x \in \mathbb R$，$g(x)=0$，而且$\lim_{x \to a} h(x) = 0$。

设$\varepsilon > 0$，根据函数的极限的定义，存在$\delta > 0$使得：若$0 < |x-a| < \delta$，则$|h(x)| < \varepsilon$。

由于 $0 = g(x) \le f(x) \le h(x)$，故$|f(x)| \le |h(x)|$。

若 $0 < |x-a| < \delta$，则$|f(x)| \le |h(x)| < \varepsilon$。于是，$\lim_{x \to a} f(x) = 0$。

一般情况

$g(x) \le f(x) \le h(x)$

$0 \le f(x) - g(x) \le h(x) - g(x)$

当$x \to a$：

$h(x) - g(x) \to L-L = 0$

根据上面已证的特殊情况，可知$f(x) - g(x) \to 0$。

$f(x) = [f(x) - g(x)] + g(x) \to 0 + L = L$。