Γ函数在实轴上的函数图形
在数学 中,
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
函数 (伽玛函数 ;Gamma函数),是阶乘 函数在实数 与复数 域上的扩展。如果
n
{\displaystyle n}
为正整数 ,则:
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma(n) = (n-1)!}
对于实数部分为正的复数
z
{\displaystyle z}
,伽玛函数定义为:
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t}
此定义可以用解析延拓 原理,拓展到除去非正整数 的整个复数 域上。
因为 Γ函数 没有零点,所以倒数Γ函数是一个整函数,也就是在整个复数上都是有定义的函数。
在概率论 中很常见到此函数,另外在组合数学 中这个函数也非常常见。
在Γ函数的记号上,是源自于勒让德 。
动机
Γ函数本身可以被看作是一个下列插值问题的解:
‘找到一个光滑曲线连接那些由
y
=
(
x
−
1
)
!
{\displaystyle y = (x - 1)!}
所给定的点
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x, y)}
,并要求
x
{\displaystyle x}
要为正整数’
由前几个的阶乘清楚的表明这样的曲线是可以被画出来的,但是我们更希望有一个精确的公式去描述这个曲线,并让阶乘的操作不会依赖于
x
{\displaystyle x}
值的大小。而最简单的阶乘公式
x
!
=
1
×
2
×
⋯
×
x
{\displaystyle x! = 1 \times 2 \times \cdots \times x}
不能直接应用在应用在
x
{\displaystyle x}
值为有理数的时候,因为它被限定在
x
{\displaystyle x}
值为正整数而已。相对而言,并不存在简单的阶乘解决公式。不存在一个有限的关于加总、乘积、幂次、指数函数或是对数函数可以表达
x
!
{\displaystyle x!}
,但是是有一个普遍的公式借由微积分的积分与极限去表达阶乘的,而 Γ函数就是那个好公式。
阶乘有无限多种的连续扩张方式将定义域扩张到非整数:可以通过任何一组孤立点画出无限多的曲线。Γ函数是实务上最好的一个选择,因为是解析的 (除了正整数点),而且它可以被定义成很多种等价形式。然而,它并不是唯一一个扩张阶乘意义的解析函数,只要给予任何解析函数,其在正整数上为零,像是 k sin mπ x ,会给出其他函数有着阶乘性质。
定义
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
函数可以通过尤拉 (Euler)第二类积分定义:
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\rm{d}t}
对复数
z
{\displaystyle z\,}
,我们要求
R
e
(
z
)
>
0
{\displaystyle \mathrm{Re}(z) > 0}
。
Γ
{\displaystyle \Gamma}
函数还可以通过对
e
−
t
{\displaystyle \mathrm{e}^{-t}\,}
做泰勒展开 ,解析延拓 到整个复平面 :
Γ
(
z
)
=
∫
1
∞
t
z
−
1
e
t
d
t
+
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
1
n
+
z
{\displaystyle \Gamma(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t}{\rm{d}}t+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{n+z}}
这样定义的
Γ
{\displaystyle \Gamma}
函数在全平面除了
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
…
{\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots}
以外的地方解析。
Γ
{\displaystyle \Gamma}
函数也可以用无穷乘积的方式表示:
Γ
(
z
)
=
1
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
(
1
+
1
n
)
z
{\displaystyle \Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{z}}
这说明
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma(z)}
是亚纯函数,而
1
Γ
(
z
)
{\displaystyle \frac{1}{\Gamma(z)}}
是全纯函数
无穷乘积
Γ
{\displaystyle \Gamma\,}
函数可以用无穷乘积 表示:
Γ
(
z
)
=
lim
n
→
∞
n
!
n
z
∏
k
=
0
n
(
z
+
k
)
−
1
{\displaystyle \Gamma(z) = \lim_{n \to {\infty}} n! \; n^z\prod_{k=0}^{n} (z+k)^{-1}}
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
n
{\displaystyle \Gamma(z) = \frac{\mathrm{e}^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \mathrm{e}^{\frac{z}{n}}}
其中
γ
{\displaystyle \gamma\,}
是欧拉-马歇罗尼常数 。
Γ
{\displaystyle \Gamma}
积分
1
=
∫
0
∞
x
α
−
1
λ
α
e
−
λ
x
Γ
(
α
)
d
x
{\displaystyle 1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha-1}\lambda^\alpha \mathrm{e}^{-\lambda x}}{\Gamma\left(\alpha \right)} {\rm{d}} x}
⟹
Γ
(
α
)
λ
α
=
∫
0
∞
x
α
−
1
e
−
λ
x
d
x
{\displaystyle \implies
\frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha}
=
\int_{0}^{\infty}
x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda x} {\rm{d}}x}
递推公式
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
函数的递推公式为:
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)}
,
对于正整数
n
{\displaystyle n\,}
,有
Γ
(
n
+
1
)
=
n
!
{\displaystyle \Gamma(n+1)=n!}
,
可以说
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
函数是阶乘 的推广。
递推公式的推导
Γ
(
n
+
1
)
=
∫
0
∞
e
−
x
x
n
+
1
−
1
d
x
=
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
{\displaystyle \Gamma(n + 1) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n + 1 - 1} \mathrm{d}x = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n {\rm{d}}x}
我们用分部积分法 来计算这个积分:
∫
0
∞
e
−
x
x
n
d
x
=
[
−
x
n
e
x
]
0
∞
+
n
∫
0
∞
e
−
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^n \mathrm{d}x = \left[\frac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x}
当
x
=
0
{\displaystyle x=0 \,}
时,
−
0
n
e
0
=
0
1
=
0
{\displaystyle \tfrac{-0^n}{\mathrm{e}^0} = \tfrac{0}{1} = 0}
。当
x
{\displaystyle x \,}
趋于无穷大 时,根据洛必达法则 ,有:
lim
x
→
∞
−
x
n
e
x
=
lim
x
→
∞
−
n
!
⋅
0
e
x
=
0
{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{\mathrm{e}^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{\mathrm{e}^x} = 0}
。
因此第一项
[
−
x
n
e
x
]
0
∞
{\displaystyle \left[\tfrac{-x^n}{\mathrm{e}^x}\right]_0^\infty }
变成了零,所以:
Γ
(
n
+
1
)
=
n
∫
0
∞
x
n
−
1
e
x
d
x
{\displaystyle \Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{\mathrm{e}^x} {\rm{d}}x}
等式的右面正好是
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle n \Gamma(n)\,}
。因此,递推公式 为:
Γ
(
n
+
1
)
=
n
Γ
(
n
)
{\displaystyle {\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,}
。
重要性质
当
z
→
0
+
{\displaystyle z\to 0^+}
时,
Γ
(
z
)
→
+
∞
{\displaystyle \Gamma(z)\to+\infty}
欧拉反射公式 (余元公式):
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
π
z
(
0
<
R
e
(
z
)
<
1
)
{\displaystyle \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)}
由此可知当
z
=
1
2
{\displaystyle \ z=\tfrac{1}{2}}
时,
Γ
(
1
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}}
。
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
2
)
=
2
1
−
2
z
π
Γ
(
2
z
)
{\displaystyle \Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \tfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)}
。
Γ
(
z
)
Γ
(
z
+
1
m
)
Γ
(
z
+
2
m
)
⋯
Γ
(
z
+
m
−
1
m
)
=
(
2
π
)
m
−
1
2
m
1
2
−
m
z
Γ
(
m
z
)
{\displaystyle \Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \tfrac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \tfrac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \tfrac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac{1}{2} - mz} \; \Gamma(mz)}
。
Γ
(
n
+
1
2
)
=
(
2
n
)
!
π
n
!
4
n
{\displaystyle \Gamma\left(n+\tfrac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!\sqrt{\pi}}{n!4^n}}
Γ
(
1
/
6
)
=
Γ
(
1
/
3
)
2
/
π
∗
2
2
/
3
∗
sin
(
π
/
3
)
.
{\displaystyle \Gamma(1/6) = \Gamma(1/3)^2 / \sqrt{\pi} * 2^{2/3} * \sin({\pi/3}).}
Γ
(
5
/
6
)
=
1
/
Γ
(
1
/
3
)
2
∗
π
3
∗
2
4
/
3
/
3
.
{\displaystyle \Gamma(5/6) = 1 / \Gamma(1/3)^2 * \sqrt{\pi}^3 * 2^{4/3} / \sqrt{3}.}
Γ
(
1
/
10
)
=
Γ
(
1
/
5
)
∗
Γ
(
2
/
5
)
/
π
∗
2
4
/
5
∗
sin
(
2
∗
π
/
5
)
.
{\displaystyle \Gamma(1/10) = \Gamma(1/5) * \Gamma(2/5) / \sqrt{\pi} * 2^{4/5} * \sin({2*\pi/5}).}
Γ
(
3
/
10
)
=
Γ
(
1
/
5
)
/
Γ
(
2
/
5
)
∗
π
/
2
3
/
5
/
sin
(
3
∗
π
/
10
)
.
{\displaystyle \Gamma(3/10) = \Gamma(1/5) / \Gamma(2/5) * \sqrt{\pi} / 2^{3/5} / \sin({3*\pi/10}).}
Γ
(
7
/
10
)
=
Γ
(
2
/
5
)
/
Γ
(
1
/
5
)
∗
π
∗
2
3
/
5
.
{\displaystyle \Gamma(7/10) = \Gamma(2/5) / \Gamma(1/5) * \sqrt{\pi} * 2^{3/5}.}
Γ
(
9
/
10
)
=
1
/
(
Γ
(
1
/
5
)
∗
Γ
(
2
/
5
)
)
∗
π
3
/
2
4
/
5
/
(
sin
(
π
/
10
)
∗
sin
(
2
∗
π
/
5
)
)
.
{\displaystyle \Gamma(9/10) = 1 / (\Gamma(1/5) * \Gamma(2/5)) * \sqrt{\pi}^3 / 2^{4/5} / (\sin(\pi/10) * \sin({2*\pi/5})).}
[1]
此式可用来协助计算t分布 概率密度函数、卡方分布 概率密度函数、F分布 概率密度函数等的累计概率。
对任何实数α
lim
n
→
∞
Γ
(
n
+
α
)
Γ
(
n
)
n
α
=
1
,
α
∈
R
{\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^{\alpha}} = 1, \qquad \alpha\in\mathbf{R}}
斯特灵公式
斯特灵公式 能用以估计
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma(z)}
函数的增长速度。公式为:
Γ
(
z
+
1
)
∼
2
π
z
(
z
e
)
z
,
{\displaystyle \Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,}
其中e 约等于2.718281828459。
特殊值
Γ
(
−
3
2
)
=
4
3
π
≈
2.363
271
801
207
Γ
(
−
1
2
)
=
−
2
π
≈
−
3.544
907
701
811
Γ
(
1
2
)
=
π
≈
1.772
453
850
906
Γ
(
1
)
=
0
!
=
1
Γ
(
3
2
)
=
1
2
π
≈
0.886
226
925
453
Γ
(
2
)
=
1
!
=
1
Γ
(
5
2
)
=
3
4
π
≈
1.329
340
388
179
Γ
(
3
)
=
2
!
=
2
Γ
(
7
2
)
=
15
8
π
≈
3.323
350
970
448
Γ
(
4
)
=
3
!
=
6
{\displaystyle \begin{array}{rcccl}
\Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &\approx& 2.363\,271\,801\,207 \\
\Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right) &=& -2\sqrt{\pi} &\approx& -3.544\,907\,701\,811 \\
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) &=& \sqrt{\pi} &\approx& 1.772\,453\,850\,906 \\
\Gamma(1) &=& 0! &=& 1 \\
\Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &\approx& 0.886\,226\,925\,453 \\
\Gamma(2) &=& 1! &=& 1 \\
\Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right) &=& \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &\approx& 1.329\,340\,388\,179 \\
\Gamma(3) &=& 2! &=& 2 \\
\Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right) &=& \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &\approx& 3.323\,350\,970\,448 \\
\Gamma(4) &=& 3! &=& 6
\end{array}}
导数
对任何复数 z ,满足 Re(z) > 0 ,有
d
n
d
z
n
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
(
ln
t
)
n
d
t
{\displaystyle \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\,\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} (\ln t)^{n} dt }
于是,对任何正整数 m
Γ
′
(
m
+
1
)
=
m
!
(
−
γ
+
∑
k
=
1
m
1
k
)
{\displaystyle \Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\, }
其中γ是欧拉-马歇罗尼常量 。
复数值
Γ
(
x
+
i
y
)
=
{
∫
1
∞
t
x
−
1
e
t
cos
(
y
ln
t
)
d
t
+
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
[
k
+
x
(
k
+
x
)
2
+
y
2
]
}
+
i
{
∫
1
∞
t
x
−
1
e
t
sin
(
y
ln
t
)
d
t
−
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
[
y
(
k
+
x
)
2
+
y
2
]
}
{\displaystyle \Gamma(x+{\rm{i}}y)=\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\cos (y\ln t){\rm{d}}t+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\left[\frac{k+x}{(k+x)^2+y^2}\right]\right\}+{\rm{i}}\left\{\int_1^{\infty}\frac{t^{x-1}}{\mathrm{e}^t}\sin (y\ln t){\rm{d}}t-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!}{\left[\frac{y}{(k+x)^2+y^2}\right]}\right\}\,}
解析延拓
Γ函数的绝对值函数图形
注意到在
Γ
{\displaystyle \Gamma}
函数的积分定义中若取
z
{\displaystyle z \,}
为实部大于零之复数 、则积分存在,而且在右半复平面上定义一个全纯函数 。利用函数方程
Γ
(
z
)
Γ
(
1
−
z
)
=
π
sin
π
z
(
0
<
R
e
(
z
)
<
1
)
{\displaystyle \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 < \mathrm{Re}(z) < 1) }
并注意到函数
sin
(
π
z
)
{\displaystyle \sin (\pi z) \,}
在整个复平面上有解析延拓,我们可以在
R
e
(
z
)
<
1
{\displaystyle \mathrm{Re}(z)<1}
时设
Γ
(
z
)
=
π
Γ
(
1
−
z
)
sin
π
z
{\displaystyle \Gamma(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}}
从而将
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
函数延拓为整个复平面上的亚纯函数 ,它在
z
=
0
,
−
1
,
−
2
,
−
3
⋯
{\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots}
有单极点 ,留数为
R
e
s
(
Γ
,
−
n
)
=
(
−
1
)
n
n
!
{\displaystyle \mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!} }
程序实现
许多编程语言或表格软件有提供Γ函数或对数的Γ函数,例如EXCEL。而对数的Γ函数还要再取一次自然指数才能获得Γ函数值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函数,再用EXP[GAMMALN(X)]
,即可求得任意实数的伽玛函数的值。
例如在EXCEL中:EXP[GAMMALN(4/3)]
=0.89297951156925
而在没有提供Γ函数的程序环境中,也能够过泰勒级数或斯特灵公式等方式来近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十进制可获得有效数字八位数的精确度[2] ,已足以填满单精度浮点数 的二进制有效数字24位:
Γ
(
z
)
≈
2
π
z
(
z
e
z
sinh
1
z
+
1
810
z
6
)
z
{\displaystyle \Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{z}{e} \sqrt{ z \sinh \frac{1}{z} + \frac{1}{810z^6} } \right)^{z}}
参见
参考文献
外部链接