换元积分法

换元积分法（英语：Integration by substitution），又称变数变换法，是求积分的一种方法。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

第一类换元法

设$f(x)\$为可积函数，$g=g(x)\$为连续可导函数，则有：

$\int^\beta_\alpha f(g)g'\mathrm{d}x=\int^{g(\beta)}_{g(\alpha)}f(g)\mathrm{d}g$

第一类换元法的基本思想是配凑的思想。

第二类换元法

设$f(x)\$为可积函数，$x=x(g)\$为连续可导函数，则有：

$\int^\beta_\alpha f(x)\mathrm{d}x=\int^{x^{-1}(\beta)}_{x^{-1}(\alpha)}f(x(g))x'\mathrm{d}g$

在遇到类似$\sqrt{x^2-a^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$和$\sqrt{a^2-x^2}$的式子时，通常采取分别令$x= \pm a\sec t$、$x= \pm a\tan t$或$x= \pm a\sin t$进行换元，得到关于$t$的一个原函数。如果要计算不定积分，则再由$x$与$t$的关系还原即可；如果要计算定积分，只需在变换后的积分限$\alpha$和$\beta$下计算相应的定积分即可。

例子

计算积分$\int^2_0x\cos(x^2+1)\,dx$。

$\begin{alignat}{2}d\left(x^2+1\right)=2x\,dx&\iff dx=\frac{d\left(x^2+1\right)}{2x}\\ \therefore\int^2_0x\cos(x^2+1)\,dx&=\frac{\int^2_02x\cos(x^2+1)\,dx}{2}\\ &=\frac{\int_{1}^5\cos(x^2+1)\,d\left(x^2+1\right)}{2}\\ &=\frac{\sin 5-\sin 1}{2}\\ \end{alignat}$

其中 $dx$ 换元为 $d\left(x^2+1\right)$ 后，$\int^2_0$ 亦变为 $\int^5_1$，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是 x 的取值范围，而不是 g(x) 的取值范围。

参见

• 分部积分法