在这篇文章内,矢量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如,位置矢量通常用
r
{\displaystyle \mathbf{r}\,\!}
表示;而其大小则用
r
{\displaystyle r\,\!}
来表示。
威廉·哈密顿
卡尔·雅可比
在物理学 里,哈密顿-雅可比方程 (Hamilton-Jacobi equation,HJE) 是经典力学 的一种表述。哈密顿-雅可比方程、牛顿力学 、拉格朗日力学 、哈密顿力学 ,这几个表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明守恒 的物理量 方面,特别有用处。有时候,虽然物理问题的本身无法完全解析,哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明守恒的物理量。
HJE 是经典哈密顿量 一个正则变换 ,经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程 ,方程之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程 的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程,每个变量对应于一个坐标,而哈密顿方程是一个一阶线性方程组,每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题,例如开普勒问题 。
HJE 是唯一能够将粒子运动表达为波动 的一种力学表述。因此,HJE 满足了一个长久以来理论物理的研究目标(早至 18 世纪,约翰·伯努利 和他的学生皮埃尔·莫佩尔蒂 的年代);那就是,寻找波传播 与粒子运动的相似之处。力学系统的波动方程 与薛定谔方程 很相似;但并不相同。稍后会有详细说明。HJE 被认为是从经典力学进入量子力学 最近的门阶。
数学表述
哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程 。用数学表达
H
(
q
1
,
…
,
q
N
;
∂
S
∂
q
1
,
…
,
∂
S
∂
q
N
;
t
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \mathcal{H}\left(q_{1},\ \dots,q_{N};\ \frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ \dots,\ \frac{\partial S}{\partial q_{N}};\ t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0}
;
其中,
H
{\displaystyle \mathcal{H}}
是哈密顿量 ,未知函数
S
(
q
1
,
…
,
q
N
;
a
1
,
…
,
a
N
;
t
)
{\displaystyle S(q_{1},\ \dots,\ q_{N};\ a_{1},\ \dots,\ a_{N};\ t)}
称为哈密顿主函数 ,
(
q
1
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle (q_{1},\ \dots,\ q_{N})}
是广义坐标 ,
(
a
1
,
…
,
a
N
)
{\displaystyle ( a_{1},\ \dots,\ a_{N})}
是积分常数,
t
{\displaystyle t}
是时间。
假若能够找到哈密顿主函数
S
{\displaystyle S}
的形式,就可以计算出广义坐标
(
q
1
,
…
,
q
N
)
{\displaystyle (q_{1},\ \dots,\ q_{N})}
与广义动量
(
p
1
,
…
,
p
N
)
{\displaystyle (p_{1},\ \dots,\ p_{N})}
随时间的演变。这样,可以完全地解析物理系统随时间的演化。
各种力学表述的比较
哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线性偏微分方程 ;其中,函数
S
(
q
1
,
…
,
q
N
;
a
1
,
…
,
a
N
;
t
)
{\displaystyle S(q_{1},\ \dots,\ q_{N};\ a_{1},\ \dots,\ a_{N};\ t)}
有
N
{\displaystyle N}
个广义坐标
q
1
,
…
,
q
N
{\displaystyle q_{1},\dots,q_{N}}
,和
N
{\displaystyle N}
个独立的积分常数
(
a
1
,
…
,
a
N
)
{\displaystyle ( a_{1},\ \dots,\ a_{N})}
。在 HJE 中,哈密顿主函数
S
{\displaystyle S}
有一个很有意思的属性,它是一种经典作用量 。
与拉格朗日力学的拉格朗日方程 比较,哈密顿力学里使用共轭动量 而非广义速度 。并且,哈密顿方程 乃是一组
2
N
{\displaystyle 2N}
个一阶微分方程,用来表示
N
{\displaystyle N}
个广义坐标和
N
{\displaystyle N}
个广义动量随时间的演变,而拉格朗日方程 则是一组
N
{\displaystyle N}
个二阶微分方程,用来表示
N
{\displaystyle N}
个广义坐标随时间的演变。
因为 HJE 等价于一个最小积分问题(像哈密顿原理 ), HJE 可以用于许多关于变分法 的问题。更推广地,在数学与物理的其它分支,像动力系统 、辛几何 、量子混沌理论 ,都可以用 HJE 来解析问题。例如,HJE 可以用来找寻黎曼流形 的测地线 ,这是黎曼几何 一个很重要的变分法问题。
导引
在哈密顿力学 里,正则变换 将一组正则坐标
(
q
,
p
)
{\displaystyle (\mathbf{q},\ \mathbf{p})}
变换为一组新的正则坐标
(
Q
,
P
)
{\displaystyle (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})}
,而同时维持哈密顿方程的型式(称为型式不变性 )。旧的哈密顿方程为
q
˙
=
∂
H
∂
p
{\displaystyle \dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}}
,
p
˙
=
−
∂
H
∂
q
{\displaystyle \dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}} }
;
新的哈密顿方程为
Q
˙
=
∂
K
∂
P
{\displaystyle \dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}}
,
P
˙
=
−
∂
K
∂
Q
{\displaystyle \dot{\mathbf{P}} = - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}} }
;
这里,
H
(
q
,
p
,
t
)
{\displaystyle \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)}
、
K
(
Q
,
P
,
t
)
{\displaystyle \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)}
分别为旧的哈密顿量与新的哈密顿量,
t
{\displaystyle t}
是时间。
假若,使用第二型生成函数
G
2
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle G_2(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)}
来生成新正则坐标,则新旧正则坐标的关系为
∂
G
2
∂
q
=
p
{\displaystyle \frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{p}}
,
∂
G
2
∂
P
=
Q
{\displaystyle \frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{P}} = \mathbf{Q}}
。
而新旧哈密顿量的关系为
K
=
H
+
∂
G
2
∂
t
{\displaystyle \mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G_2}{\partial t}}
。
(条目正则变换 有更详细的说明。)
哈密顿主函数
假若,可以找到一个第二型生成函数
S
=
G
2
{\displaystyle S=G_2}
。这生成函数使新哈密顿量
K
{\displaystyle \mathcal{K}}
恒等于 0 。称这个生成函数
S
(
q
,
P
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)}
为哈密顿主函数 。那么,新哈密顿量
K
{\displaystyle \mathcal{K}}
所有的偏导数都等于 0 。哈密顿方程也变得非常的简单:
P
˙
=
Q
˙
=
0
{\displaystyle \dot{\mathbf{P}}=\dot{\mathbf{Q}}=0}
。
这样,新正则坐标都成为运动常数
a
=
(
a
1
,
…
,
a
N
)
{\displaystyle \boldsymbol{a}=( a_{1},\ \ldots,\ a_{N})}
、
b
=
(
b
1
,
…
,
b
N
)
{\displaystyle \boldsymbol{b}=( b_{1},\ \ldots,\ b_{N})}
:
P
=
a
{\displaystyle \mathbf{P}=\boldsymbol{a}}
,
Q
=
b
{\displaystyle \mathbf{Q}=\boldsymbol{b}}
。
由于
p
=
∂
S
∂
q
{\displaystyle \mathbf{p}=\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}}}
,代入旧哈密顿量,则可得到哈密顿-雅可比方程:
H
(
q
,
∂
S
∂
q
,
t
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}},\ t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0}
。
解析问题的重要关键是必须找到哈密顿主函数
S
(
q
,
a
,
t
)
{\displaystyle S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}
的方程。一旦找到这方程,因为
p
=
∂
S
(
q
,
a
,
t
)
∂
q
{\displaystyle \mathbf{p}=\frac{\partial S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}{\partial \mathbf{q}}}
,(1)
Q
=
b
=
∂
S
(
q
,
a
,
t
)
∂
a
{\displaystyle \mathbf{Q}=\boldsymbol{b}= \frac{\partial S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}{\partial \boldsymbol{a}}}
。(2)
给予
q
{\displaystyle \mathbf{q}}
与
p
{\displaystyle \mathbf{p}}
在时间
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_0}
的初始值,
q
0
{\displaystyle \mathbf{q}_0}
与
p
0
{\displaystyle \mathbf{p}_0}
,可以求出运动常数
a
{\displaystyle \boldsymbol{a}}
,
b
{\displaystyle \boldsymbol{b}}
。知道这两组运动常数,立刻可以得到旧正则坐标
q
{\displaystyle \mathbf{q}}
与
p
{\displaystyle \mathbf{p}}
随时间的演变。
哈密顿特征函数
假设,哈密顿量不显含时:
∂
H
∂
t
=
0
{\displaystyle \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0}
。那么,
d
H
(
q
,
p
,
t
)
d
t
=
∂
H
∂
p
⋅
p
˙
+
∂
H
∂
q
⋅
q
˙
+
∂
H
∂
t
=
0
{\displaystyle \frac{d\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\cdot \dot{\mathbf{p}}+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}\cdot \dot{\mathbf{q}}+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0}
。
哈密顿量是一个运动常数,标记为
a
H
{\displaystyle a_{\mathcal{H}}}
:
H
(
q
,
p
)
=
a
H
{\displaystyle \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})= a_{\mathcal{H}}}
,
∂
S
∂
t
=
K
−
H
=
−
a
H
{\displaystyle \frac{\partial S}{\partial t}=\mathcal{K} - \mathcal{H}= - a_{\mathcal{H}}}
。
哈密顿主函数可以分离成两部分:
S
=
W
(
q
,
a
)
−
a
H
t
{\displaystyle S = W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a}) - a_{\mathcal{H}}t}
;
其中,不含时间的函数
W
(
q
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})}
称为哈密顿特征函数 。
思考一个新的正则变换。设定哈密顿特征函数
W
(
q
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})}
为一个第二型生成函数
G
2
{\displaystyle G_2}
:
p
=
∂
W
∂
q
{\displaystyle \mathbf{p}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}}
,
Q
=
∂
W
∂
a
{\displaystyle \mathbf{Q}=\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{a}}}
。
那么,哈密顿-雅可比方程变为
H
(
q
,
∂
W
∂
q
)
=
a
H
{\displaystyle \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}})= a_{\mathcal{H}}}
。
由于哈密顿特征函数不显含时,新旧哈密顿量的关系为
K
=
H
−
a
H
{\displaystyle \mathcal{K}=\mathcal{H}-a_{\mathcal{H}}}
;
新正则坐标随时间的导数变为
P
˙
=
−
∂
K
∂
Q
=
0
,
{\displaystyle \dot{\mathbf{P}}= - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial Q}=0,\!}
,
Q
˙
1
=
∂
K
∂
a
1
=
1
{\displaystyle \dot{Q}_1=\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial a_1}=1}
,
{\displaystyle \qquad\qquad}
设定
a
1
{\displaystyle a_1}
为
a
H
{\displaystyle a_{\mathcal{H}}}
,
Q
˙
i
=
∂
K
∂
a
i
=
0
{\displaystyle \dot{Q}_i=\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial a_i}=0}
,
{\displaystyle \qquad\qquad}
i
>
1
{\displaystyle i>1}
。
所以,新正则坐标变为
P
=
a
{\displaystyle \mathbf{P}=\boldsymbol{a}}
,
Q
1
=
t
+
b
1
{\displaystyle Q_1=t+b_1}
,
Q
i
=
b
i
,
I
>
1
{\displaystyle Q_i=b_i,\qquad\qquad I > 1 }
。
假若,能找到哈密顿特征函数
W
(
q
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})}
,给予旧广义坐标
q
{\displaystyle \mathbf{q}}
与旧广义动量
p
{\displaystyle \mathbf{p}}
在时间
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_0}
的初始值,
q
0
{\displaystyle \mathbf{q}_0}
与
p
0
{\displaystyle \mathbf{p}_0}
,依照前面所述方法,就可以求出旧正则坐标随时间的演变。
分离变数法
哈密顿-雅可比方程最有用的时候,是当它可以使用分离变数法 ,来直接地辨明运动常数 。假设,HJE 可以分为两部分。一部分只跟广义坐标
q
k
{\displaystyle q_{k}}
、哈密顿主函数的偏导数
∂
S
∂
q
k
{\displaystyle \frac{\partial S}{\partial q_{k}}}
有关,标记这部分为
ψ
(
q
k
,
∂
S
∂
q
k
)
{\displaystyle \psi \left(q_{k},\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)}
。另一部分跟
q
k
{\displaystyle q_{k}}
、
∂
S
∂
q
k
{\displaystyle \frac{\partial S}{\partial q_{k}}}
无关。对于这状况,哈密顿主函数
S
{\displaystyle S}
可以分离为两个函数。一个函数
S
k
{\displaystyle S_{k}}
除了广义坐标
q
k
{\displaystyle q_{k}}
以外,跟任何其它广义坐标无关。另外一个函数
S
r
e
m
{\displaystyle S_{\rm rem}}
跟
q
k
{\displaystyle q_{k}}
无关。
S
=
S
k
(
q
k
;
P
)
+
S
r
e
m
(
q
1
,
…
,
q
k
−
1
,
q
k
+
1
,
…
,
q
N
;
P
;
t
)
{\displaystyle S = S_{k}(q_{k};\ \mathbf{P}) + S_{\rm rem}(q_{1},\ \dots,\ q_{k-1},\ q_{k+1},\ \ldots,\ q_{N};\ \mathbf{P};\ t)}
。
由于每一个广义动量都是运动常数,
P
=
a
{\displaystyle \mathbf{P}=\mathbf{a}}
,函数
S
k
{\displaystyle S_{k}}
只跟广义坐标
q
k
{\displaystyle q_{k}}
有关:
S
k
(
q
k
;
P
)
=
S
k
(
q
k
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k};\ \mathbf{P})=S_{k}(q_{k})}
,
ψ
(
q
k
,
∂
S
∂
q
k
)
=
ψ
(
q
k
,
d
S
k
d
q
k
)
=
ψ
(
q
k
)
{\displaystyle \psi \left(q_{k},\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)=\psi \left(q_{k},\ \frac{dS_k}{dq_{k}}\right)=\psi(q_{k})}
。
若将哈密顿主函数
S
{\displaystyle S}
代入 HJE,则可以观察到,
q
k
{\displaystyle q_{k}}
只出现于函数
ψ
{\displaystyle \psi}
内部,而不出现于 HJE 的任何其它地方。所以,函数
ψ
{\displaystyle \psi}
必须等于常数(在这里标记为
Γ
k
{\displaystyle \Gamma_{k}}
)。这样,可得到一个一阶常微分方程 :
ψ
(
q
k
,
d
S
k
d
q
k
)
=
Γ
k
{\displaystyle \psi \left(q_{k},\ \frac{d S_{k}}{d q_{k}} \right) = \Gamma_{k}}
。
在某些问题里,很幸运地,函数
S
{\displaystyle S}
可以完全的分离为
N
{\displaystyle N}
个函数
S
k
(
q
k
)
{\displaystyle S_{k}(q_{k})}
:
S
=
S
1
(
q
1
)
+
S
2
(
q
2
)
+
⋯
+
S
N
(
q
N
)
−
a
H
t
{\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots+S_{N}(q_{N}) - a_{\mathcal{H}}t}
。
这些问题的偏微分方程可以分离为
N
{\displaystyle N}
个常微分方程。
哈密顿主函数
S
{\displaystyle S}
的可分性,相关于哈密顿量和广义坐标的选择。假若,一个物理系统符合施特克尔条件 (Staeckel conditions ) ,则哈密顿主函数
S
{\displaystyle S}
可以完全分离。以下为用几种正交坐标来完全分离 HJE 的例子。
球坐标系
采用球坐标
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\ \theta,\ \phi)}
,假设一个物理系统的哈密顿量为
H
=
1
2
m
[
p
r
2
+
p
θ
2
r
2
+
p
ϕ
2
r
2
sin
2
θ
]
+
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \mathcal{H}= \frac{1}{2m} \left[ p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2} \sin^{2} \theta} \right] + U(r,\ \theta,\ \phi)}
;
其中,
(
p
r
,
p
θ
,
p
ϕ
)
{\displaystyle (p_r,\ p_{\theta},\ p_{\phi})}
是广义动量,
U
{\displaystyle U}
为位势 函数,不含时间。
那么,哈密顿-雅可比方程可以表达为
H
=
1
2
m
[
(
∂
S
∂
r
)
2
+
1
r
2
(
∂
S
∂
θ
)
2
+
1
r
2
sin
2
θ
(
∂
S
∂
ϕ
)
2
]
+
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \mathcal{H}= \frac{1}{2m} \left[\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2} + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \theta}\right)^2 + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta}\left(\frac{\partial S}{\partial \phi}\right)^{2} \right] + U(r,\ \theta,\ \phi)+\frac{\partial S}{\partial t}=0}
;
其中,
S
{\displaystyle S}
是哈密顿主函数。
假若,位势 函数
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle U(r,\ \theta,\ \phi)}
的形式可以进一步设定为
U
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
U
r
(
r
)
+
U
θ
(
θ
)
r
2
+
U
ϕ
(
ϕ
)
r
2
sin
2
θ
{\displaystyle U(r,\ \theta,\ \phi) = U_{r}(r) + \frac{U_{\theta}(\theta)}{r^{2}} + \frac{U_{\phi}(\phi)}{r^{2}\sin^{2}\theta}}
;
其中,
U
r
(
r
)
{\displaystyle U_{r}(r)}
、
U
θ
(
θ
)
{\displaystyle U_{\theta}(\theta)}
、
U
ϕ
(
ϕ
)
{\displaystyle U_{\phi}(\phi)}
,都是任意函数;则 HJE 是完全可分的。将完全分离的解答
S
=
S
r
(
r
)
+
S
θ
(
θ
)
+
S
ϕ
(
ϕ
)
−
a
H
t
{\displaystyle S = S_{r}(r) + S_{\theta}(\theta) + S_{\phi}(\phi) - a_{\mathcal{H}}t}
代入 HJE ,会得到方程
[
(
d
S
r
d
r
)
2
+
2
m
U
r
(
r
)
]
+
1
r
2
[
(
d
S
θ
d
θ
)
2
+
2
m
U
θ
(
θ
)
]
+
1
r
2
sin
2
θ
[
(
d
S
ϕ
d
ϕ
)
2
+
2
m
U
ϕ
(
ϕ
)
]
=
2
m
a
H
{\displaystyle \left[\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2m U_{r}(r)\right] +
\frac{1}{r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) \right] +
\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \left[ \left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) \right] =2ma_{\mathcal{H}}}
。
变数
ϕ
{\displaystyle \phi}
只出现于公式左手边的第三个方括弧内;其它变数都不出现于公式的这部分。所以,可以将这部分孤立出来,成为一个常微分方程:
(
d
S
ϕ
d
ϕ
)
2
+
2
m
U
ϕ
(
ϕ
)
=
Γ
ϕ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) = \Gamma_{\phi}
}
;
其中,
Γ
ϕ
{\displaystyle \Gamma_{\phi}}
是运动常数 。
简化的 HJE 跟
ϕ
{\displaystyle \phi}
无关:
[
(
d
S
r
d
r
)
2
+
2
m
U
r
(
r
)
]
+
1
r
2
[
(
d
S
θ
d
θ
)
2
+
2
m
U
θ
(
θ
)
+
Γ
ϕ
sin
2
θ
]
=
2
m
a
H
{\displaystyle \left[\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2m U_{r}(r) \right]+
\frac{1}{r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} \right] =2m a_{\mathcal{H}}}
。
同样地,可以将变数
θ
{\displaystyle \theta}
出现的部分孤立出来,成为一个常微分方程:
(
d
S
θ
d
θ
)
2
+
2
m
U
θ
(
θ
)
+
Γ
ϕ
sin
2
θ
=
Γ
θ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} = \Gamma_{\theta}}
;
其中,
Γ
θ
{\displaystyle \Gamma_{\theta}}
是运动常数。
剩下的是一个径向距离函数
S
r
{\displaystyle S_{r}}
的常微分方程。:
(
d
S
r
d
r
)
2
+
2
m
U
r
(
r
)
+
Γ
θ
r
2
=
2
m
a
H
{\displaystyle \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2mU_{r}(r) + \frac{\Gamma_{\theta}}{ r^{2}} =2m a_{\mathcal{H}}}
。
这样,可以完全地分离 HJE 。
椭圆柱坐标系
采用椭圆柱坐标
(
μ
,
ν
,
z
)
{\displaystyle (\mu,\ \nu,\ z)}
,假设假设一个物理系统的哈密顿量为
H
=
p
μ
2
+
p
ν
2
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
+
p
z
2
2
m
+
U
(
μ
,
ν
,
z
)
{\displaystyle \mathcal{H} = \frac{p_{\mu}^{2} + p_{\nu}^{2}}{2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m} + U(\mu,\ \nu,\ z)}
其中,
(
p
μ
,
p
ν
,
p
z
)
{\displaystyle (p_{\mu},\ p_{\nu},\ p_z)}
是广义动量,
U
{\displaystyle U}
为位势 函数,不含时间。
那么,哈密顿-雅可比方程可以表达为
H
=
1
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
[
(
∂
S
∂
μ
)
2
+
(
∂
S
∂
ν
)
2
]
+
1
2
m
(
∂
S
∂
z
)
2
+
U
(
μ
,
ν
,
z
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \mathcal{H} = \frac{1}{2ma^2(\sinh^2\mu+\sin^2\nu)}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial \mu}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial \nu}\right)^2\right] + \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} + U(\mu,\ \nu,\ z)+\frac{\partial S}{\partial t}=0}
。
假若,位势 函数
U
(
μ
,
ν
,
z
)
{\displaystyle U(\mu,\ \nu,\ z)}
的形式可以进一步设定为
U
(
μ
,
ν
,
z
)
=
U
μ
(
μ
)
+
U
ν
(
ν
)
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
+
U
z
(
z
)
{\displaystyle U(\mu,\ \nu,\ z) = \frac{U_{\mu}(\mu) + U_{\nu}(\nu)}{\sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu} + U_{z}(z)}
;
其中,
U
μ
(
μ
)
{\displaystyle U_{\mu}(\mu)}
、
U
ν
(
ν
)
{\displaystyle U_{\nu}(\nu)}
、
U
z
(
z
)
{\displaystyle U_{z}(z)}
,都是任意函数;则 HJE 是完全可分的。猜想一个完全分离解答
S
=
S
μ
(
μ
)
+
S
ν
(
ν
)
+
S
z
(
z
)
−
a
H
t
{\displaystyle S = S_{\mu}(\mu) + S_{\nu}(\nu) + S_{z}(z) - a_{\mathcal{H}}t}
。将这猜想公式代入 HJE ,
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
+
1
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
[
(
d
S
μ
d
μ
)
2
+
(
d
S
ν
d
ν
)
2
+
2
m
a
2
U
μ
(
μ
)
+
2
m
a
2
U
ν
(
ν
)
]
=
a
H
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_z}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z)+ \frac{1}{2ma^2 (\sinh^2 \mu + \sin^2 \nu)}
\left[ \left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu)\right] = a_{\mathcal{H}}}
。
公式左手边的前两个项目只跟变量
z
{\displaystyle z}
有关;其它的项目都跟
z
{\displaystyle z}
无关。所以,可以将那两个项目分离出来,成为一个常微分方程:
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
=
Γ
z
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}
}
;
其中,
Γ
z
{\displaystyle \Gamma_{z}}
是运动常数。
简化的 HJE 跟
z
{\displaystyle z}
有关:
(
d
S
μ
d
μ
)
2
+
(
d
S
ν
d
ν
)
2
+
2
m
a
2
U
μ
(
μ
)
+
2
m
a
2
U
ν
(
ν
)
=
2
m
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
(
a
H
−
Γ
z
)
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) = 2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right) \left(a_{\mathcal{H}} - \Gamma_{z} \right)}
。
这公式又可以分离成两个相互独立的常微分方程:
(
d
S
μ
d
μ
)
2
+
2
m
a
2
U
μ
(
μ
)
+
2
m
a
2
(
Γ
z
−
a
H
)
sinh
2
μ
=
Γ
μ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) \sinh^{2} \mu = \Gamma_{\mu}}
,
(
d
S
ν
d
ν
)
2
+
2
m
a
2
U
ν
(
ν
)
+
2
m
a
2
(
Γ
z
−
a
H
)
sin
2
ν
=
−
Γ
μ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) \sin^{2} \nu = - \Gamma_{\mu}}
。
其中,
Γ
μ
{\displaystyle \Gamma_{\mu}}
是运动常数。
这样,可以完全地分离 HJE 。
抛物柱面坐标系
采用抛物柱面坐标
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma,\ \tau,\ z)}
,假设假设一个物理系统的哈密顿量为
H
=
p
σ
2
+
p
τ
2
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
+
p
z
2
2
m
+
U
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle \mathcal{H}= \frac{p_{\sigma}^{2} + p_{\tau}^{2}}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2}\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m} + U(\sigma,\ \tau,\ z)}
;
其中,
(
p
σ
,
p
τ
,
p
z
)
{\displaystyle (p_{\sigma},\ p_{\tau},\ p_z)}
是广义动量,
U
{\displaystyle U}
为位势 函数,不含时间。
那么,哈密顿-雅可比方程可以表达为
H
=
1
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
[
(
∂
S
∂
σ
)
2
+
(
∂
S
∂
τ
)
2
]
+
1
2
m
(
∂
S
∂
z
)
2
+
U
(
σ
,
τ
,
z
)
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \mathcal{H}=\frac{1}{2m (\sigma^2 + \tau^2)}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial \sigma}\right)^2+\left(\frac{\partial S}{\partial \tau}\right)^2\right]
+ \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} + U(\sigma,\ \tau,\ z)+\frac{\partial S}{\partial t}=0}
。
假若,位势 函数
U
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle U(\sigma,\ \tau,\ z)}
的形式可以进一步设定为
U
(
σ
,
τ
,
z
)
=
U
σ
(
σ
)
+
U
τ
(
τ
)
σ
2
+
τ
2
+
U
z
(
z
)
{\displaystyle U(\sigma,\ \tau,\ z) = \frac{U_{\sigma}(\sigma) + U_{\tau}(\tau)}{\sigma^{2} + \tau^{2}} + U_{z}(z)}
;
其中,
U
σ
(
σ
)
{\displaystyle U_{\sigma}(\sigma)}
、
U
τ
(
τ
)
{\displaystyle U_{\tau}(\tau)}
、
U
z
(
z
)
{\displaystyle U_{z}(z)}
,都是任意函数;则 HJE 是完全可分的。猜想一个完全分离解答
S
=
S
σ
(
σ
)
+
S
τ
(
τ
)
+
S
z
(
z
)
−
a
H
t
{\displaystyle S = S_{\sigma}(\sigma) + S_{\tau}(\tau) + S_{z}(z) - a_{\mathcal{H}}t}
。将这猜想公式代入 HJE ,
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
+
1
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
[
(
d
S
σ
d
σ
)
2
+
(
d
S
τ
d
τ
)
2
+
2
m
U
σ
(
σ
)
+
2
m
U
τ
(
τ
)
]
=
a
H
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) +
\frac{1}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)} \left[ \left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau)\right] = a_{\mathcal{H}}}
。
公式左手边的前两个项目只跟变量
z
{\displaystyle z}
有关;其它的项目都跟
z
{\displaystyle z}
无关。所以,可以将那两个项目分离出来,成为一个常微分方程:
1
2
m
(
d
S
z
d
z
)
2
+
U
z
(
z
)
=
Γ
z
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}}
;
其中,
Γ
z
{\displaystyle \Gamma_{z}}
是运动常数。
简化的HJE跟
z
{\displaystyle z}
无关:
(
d
S
σ
d
σ
)
2
+
(
d
S
τ
d
τ
)
2
+
2
m
U
σ
(
σ
)
+
2
m
U
τ
(
τ
)
=
2
m
(
σ
2
+
τ
2
)
(
a
H
−
Γ
z
)
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau) = 2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) \left( a_{\mathcal{H}} - \Gamma_{z} \right)}
。
这公式又可以分离成两个相互独立的常微分方程:
(
d
S
σ
d
σ
)
2
+
2
m
U
σ
(
σ
)
+
2
m
σ
2
(
Γ
z
−
a
H
)
=
Γ
σ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m\sigma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) = \Gamma_{\sigma}}
,
(
d
S
τ
d
τ
)
2
+
2
m
a
2
U
τ
(
τ
)
+
2
m
τ
2
(
Γ
z
−
a
H
)
=
−
Γ
σ
{\displaystyle \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\tau}(\tau) + 2m \tau^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) = - \Gamma_{\sigma}}
;
其中,
Γ
σ
{\displaystyle \Gamma_{\sigma}}
是运动常数。
这样,可以完全地分离HJE。
薛定谔方程
薛定谔将哈密顿类比延伸至量子力学与波动光学之间。[1]
“哈密顿类比”是威廉·哈密顿 在研究经典力学 时给出的理论,又称为“光学-力学类比”;哈密顿指出,在经典力学里粒子的运动轨道,就如同在几何光学 里光线的传播路径;垂直于这轨道的等作用量 曲面,就如同垂直于路径的等传播时间曲面;描述粒子运动的最小作用量原理 ,就如同描述光线传播的费马原理 。哈密顿发现,使用哈密顿-雅可比方程,可以推导出最小作用量原理与费马原理;同样的形式论,可以描述光的物理行为,不论光是由遵守费马原理的光线组成,还是由遵守最小作用量原理的粒子组成。[1]
很多光的性质,例如,衍射 、干涉 等等,无法用几何光学的理论来作解释,必须要用到波动光学的理论来证实。。这意味着几何光学不等价于波动光学,几何光学是波动光学的波长超短于粒子轨道曲率半径 的极限案例。哈密顿又研究发现,使用哈密顿-雅可比方程也可以描述波动光学里遵守惠更斯原理 的光波,只要将光线的等传播时间曲面改为光波的波前 。薛定谔寻思,经典力学与量子力学之间的关系,就如同几何光学与波动光学之间的关系;哈密顿-雅可比方程应该对应于量子力学的波动方程在某种极限的案例,而这极限应该也是物质波波长超短于粒子轨道曲率半径的极限(或按照对应原理 ,普朗克常数趋于0的极限);按照先前哈密顿类比的模式,依样画葫芦,应该可以找到正确形式的波动方程。这想法很正确,经过一番努力,他成功地推导出薛定谔方程 。[1] [2]
粒子方程⇒波动方程
设想一个粒子,运动于一个保守的位势
U
(
r
)
{\displaystyle U(\mathbf{r})}
,它的哈密顿-雅可比方程为[2]
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
U
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0}
;
其中,
S
(
r
,
a
;
t
)
{\displaystyle S(\mathbf{r},\ \boldsymbol{a};\ t)}
是哈密顿主函数。
由于位势与时间无关,哈密顿主函数可以分离成两部分:
S
=
W
(
r
,
a
)
−
E
t
{\displaystyle S = W(\mathbf{r},\ \boldsymbol{ a}) - Et}
;
其中,不含时的函数
W
(
r
,
a
)
{\displaystyle W(\mathbf{r},\ \boldsymbol{ a})}
是哈密顿特征函数,
E
{\displaystyle E}
是能量。
将哈密顿主函数的公式代入哈密顿-雅可比方程,稍加运算,可以得到
|
∇
S
|
=
2
m
(
E
−
U
)
{\displaystyle |\boldsymbol{\nabla} S|= \sqrt{2m(E-U)}}
;
哈密顿主函数对于时间的全导数是
d
S
d
t
=
∂
S
∂
t
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
{\displaystyle \frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}}
。
哈密顿主函数
S
{\displaystyle S}
的常数等值曲面
σ
0
{\displaystyle \sigma_0}
在空间移动的方程为
0
=
∂
S
∂
t
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
=
−
E
+
∇
S
⋅
d
r
d
t
{\displaystyle 0=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}= - E +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}}
。
所以,在设定等值曲面的正负面后,
σ
0
{\displaystyle \sigma_0}
朝着法线 方向移动的速度
u
{\displaystyle u}
是
u
=
d
r
d
t
=
E
|
∇
S
|
=
E
2
m
(
E
−
U
)
{\displaystyle u=\frac{dr}{dt}=\frac{E}{|\nabla S|}=\frac{E}{ \sqrt{2m(E - U)}}}
。
这速度
u
{\displaystyle u}
是相速度 ,而不是粒子的移动速度
v
{\displaystyle v}
:
v
=
|
∇
S
|
m
=
2
(
E
−
U
)
m
{\displaystyle v=\frac{|\boldsymbol{\nabla} S|}{m}=\sqrt{\frac{2(E-U)}{m}}}
。
想像
σ
0
{\displaystyle \sigma_0}
为一个相位 曲面。既然粒子具有波粒二象性 ,试着给予粒子一个相位与
S
{\displaystyle S}
成比例的波函数 :
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
S
/
κ
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{iS/\kappa}}
;
其中,
κ
{\displaystyle \kappa}
是常数,
A
(
r
)
{\displaystyle A(\mathbf{r})}
是跟位置有关的系数函数。
将哈密顿主函数的公式代入
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)}
波函数,
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
(
W
−
E
t
)
/
κ
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\kappa}}
。
注意到
E
/
κ
{\displaystyle E/\kappa}
的量纲必须是频率,薛定谔突然想到爱因斯坦的光电效应理论
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle E=\hbar \omega}
;其中,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
是约化普朗克常数 ,
ω
{\displaystyle \omega}
是角频率 。他尝试设定
κ
=
ℏ
{\displaystyle \kappa=\hbar}
,粒子的波函数
Ψ
{\displaystyle \Psi}
变为
Ψ
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
e
i
(
W
−
E
t
)
/
ℏ
=
ψ
(
r
)
e
−
i
E
t
/
ℏ
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\hbar}=\psi(\mathbf{r})e^{ - iEt/\hbar}}
;
其中,
ψ
(
r
)
=
A
(
r
)
e
i
W
(
r
)
/
ℏ
{\displaystyle \psi(\mathbf{r})=A(\mathbf{r})e^{iW(\mathbf{r})/\hbar}}
。
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)}
的波动方程 为
∇
2
Ψ
−
1
u
2
∂
2
Ψ
∂
t
2
=
0
{\displaystyle \nabla^2 \Psi - \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=0}
。
将
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Psi(\mathbf{r},\,t)}
波函数代入波动方程,
经过一番运算,得到
∇
2
Ψ
−
E
2
ℏ
2
u
2
Ψ
=
∇
2
Ψ
−
2
m
(
E
−
U
)
ℏ
2
Ψ
=
0
{\displaystyle \nabla^2 \Psi - \frac{E^2}{\hbar^2u^2}\Psi=\nabla^2 \Psi - \frac{2m(E - U)}{\hbar^2}\Psi=0}
。
注意到
E
Ψ
=
i
ℏ
∂
Ψ
∂
t
{\displaystyle E\Psi=i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}}
。稍加编排,可以推导出含时薛定谔方程:
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
U
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
Ψ
(
r
,
t
)
∂
t
{\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}}
。
波动方程⇒粒子方程
逆反过来,从薛定谔方程开始:[3] :102-103
−
ℏ
2
2
m
∇
2
Ψ
(
r
,
t
)
+
U
Ψ
(
r
,
t
)
=
i
ℏ
∂
Ψ
(
r
,
t
)
∂
t
{\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}}
。
猜想
Ψ
{\displaystyle \Psi}
的形式为
Ψ
=
ψ
(
r
)
e
i
S
(
r
,
t
)
/
ℏ
{\displaystyle \Psi = \psi(\mathbf{r}) e^{iS(\mathbf{r},\,t)/\hbar}}
。
将
Ψ
{\displaystyle \Psi}
代入薛定谔方程,稍加运算,可以得到
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
U
+
∂
S
∂
t
=
i
ℏ
2
m
∇
2
S
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \nabla^{2} S}
。
取经典极限,
ℏ
→
0
{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}
,则可得到哈密顿-雅可比方程:
1
2
m
(
∇
S
)
2
+
U
+
∂
S
∂
t
=
0
{\displaystyle \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0}
。
由于这取极限的动作,在希尔伯特空间 里对于态矢量的描述改变为在相空间 里对于粒子位置与动量的描述。薛定谔方程属于线性方程 ,假若
χ
1
{\displaystyle \chi_1}
、
χ
2
{\displaystyle \chi_2}
皆是薛定谔方程的解答,则它们的线性叠加
c
1
χ
1
+
c
2
χ
2
{\displaystyle c_1\chi_1+c_2\chi_2}
必定也是解答,其中
c
1
{\displaystyle c_1}
、
c
2
{\displaystyle c_2}
皆是复系数。哈密顿-雅可比方程属于非线性方程 ,假若
f
1
{\displaystyle f_1}
、
f
2
{\displaystyle f_2}
皆是哈密顿-雅可比方程的解答,则它们的线性叠加
c
1
f
1
+
c
2
f
2
{\displaystyle c_1f_1+c_2f_2}
必定不是解答。这意味着,在量子力学可以观察得到的量子叠加 现象,无法出现在经典力学。但是,简单地推论,经典力学应是量子力学的极限案例,为什么量子叠加现象无法出现于经典力学里?这不仅仅是个理论问题,在实验室里,时常可以观察到微观粒子呈现出量子叠加现象,为什么无法观察到宏观物体呈现出同样的现象[4] :第1A节 ?更详尽内容,请参阅条目量子退相干 。
重力场
重力场可以用哈密顿-雅可比方程表达为
g
i
k
∂
S
∂
x
i
∂
S
∂
x
k
−
m
2
c
2
=
0
{\displaystyle g^{ik}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{i}}}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{k}}} - m^{2}c^{2} = 0}
;
其中,
g
i
k
{\displaystyle g^{ik}}
是度规张量 逆变 (contravariant ) 分量,
m
{\displaystyle m}
是固有质量,
c
{\displaystyle c}
是光速 。
参阅
参考文献
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↑ 2.0 2.1 薛定谔, 埃尔温, An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules (PDF) , Phys. Rev., 1926-12, 28 (6): 1049–1070 [2008-08-13 ] , doi:10.1103/PhysRev.28.1049 , 英文版本
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