此条目的主题是数学分析中关于傅里叶级数的定理。关于数论中的
狄利克雷定理 ,请见“
狄利克雷定理 ”。
在数学分析 中,狄利克雷定理 (或若尔当—狄利克雷定理 ,狄利克雷条件 )是关于傅里叶级数 逐点收敛 的一个结果。这个定理的最初版本是由德国 科学家 狄利克雷 在1829年证明的[1] 。由于当时还没有出现适合的积分理论 ,狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数(除了在有限点以外都单调 的函数)。
定理的推广版本则是由法国 数学家卡米尔·若尔当 在1881年的证明的,适用于所有局部有界变差 函数[2] 。
定理的叙述
设
f
{\displaystyle f}
为一个在
R
{\displaystyle \mathbb{R}}
上的周期性 的局部可积函数 ,其周期为
2
π
{\displaystyle 2\pi}
。给定
x
0
∈
R
{\displaystyle x_0 \in \mathbb{R}}
,假设有以下条件成立:
函数
f
{\displaystyle f}
在
x
0
{\displaystyle x_0}
处有左极限和右极限 ,分别记为
f
(
x
0
+
)
{\displaystyle f(x_0^+)}
和
f
(
x
0
−
)
{\displaystyle f(x_0^-)}
。
存在正实数:
α
>
0
{\displaystyle \alpha > 0}
,使得以下的两个积分收敛:
∫
0
α
|
f
(
x
0
+
t
)
−
f
(
x
0
+
)
|
t
d
t
,
∫
0
α
|
f
(
x
0
−
t
)
−
f
(
x
0
−
)
|
t
d
t
{\displaystyle \int_0^\alpha \frac{|f(x_0+t)-f(x_0^+)|}{t} {\mathrm d} t, \qquad
\int_0^\alpha \frac{|f(x_0-t)-f(x_0^-)|}{t} {\mathrm d} t}
那么,函数
f
{\displaystyle f}
的傅里叶级数在
x
0
{\displaystyle x_0}
处收敛,并且有:
lim
n
(
S
n
f
(
x
0
)
)
=
1
2
(
f
(
x
0
+
)
+
f
(
x
0
−
)
)
{\displaystyle \lim\limits _n (S_nf(x_0))=\frac12(f(x_0^+)+f(x_0^-))}
定理成立的一个特例是当函数
f
{\displaystyle f}
在
x
0
{\displaystyle x_0}
处有左导数和右导数 的时候,又或者是当函数是分段
C
1
{\displaystyle \mathcal{C}^{1}}
函数(见光滑函数 )的时候。
证明
定理的证明是基于以下事实:傅里叶函数可以通过卷积 以及拥有良好性质的三角多项式 :狄利克雷核 来计算。
D
n
(
x
)
=
∑
k
=
−
n
n
e
i
k
x
=
sin
(
(
n
+
1
2
)
x
)
sin
(
x
/
2
)
,
{\displaystyle D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)},}
S
n
(
f
)
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
D
n
(
x
−
t
)
d
t
=
1
2
π
∫
−
π
π
D
n
(
t
)
f
(
x
−
t
)
d
t
{\displaystyle S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_n(x-t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t)f(x-t) dt}
这里使用的是狄利克雷核的第二种形式:
S
n
(
f
)
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
{\displaystyle S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt}
这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理 所需的条件,唯一需要考虑的地方是函数
f
(
x
−
t
)
sin
(
t
/
2
)
{\displaystyle \frac{f(x-t)}{\sin(t/2)}}
在0 附近并不一定可积。但是由于:
f
~
(
x
)
=
f
(
x
+
)
+
f
(
x
−
)
2
{\displaystyle \tilde{f}(x) = \frac{ f(x^+)+f(x^-)}{2} }
存在,可以考虑将区间
[
−
π
,
0
)
{\displaystyle [ -\pi , 0)}
上的积分用
u
=
−
t
{\displaystyle u = -t}
换元,这样
S
n
(
f
)
(
x
)
{\displaystyle S_n(f)(x)}
就变成:
S
n
(
f
)
(
x
)
=
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
{\displaystyle S_n(f)(x) = \int_0^{\pi}
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt }
因此:
S
n
(
f
)
(
x
)
−
f
~
(
x
)
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
−
1
2
(
f
(
x
+
)
+
f
(
x
−
)
)
{\displaystyle S_n(f)(x)-\tilde{f}(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi}
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt
-\frac{1}{2} \left( f(x^+)+f(x^-) \right)}
而由于狄利克雷核在区间
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [ -\pi, \pi ]}
上的积分平均值是1,也就是说:
1
=
1
2
π
∫
−
π
π
D
n
(
t
)
d
t
=
1
2
π
∫
−
π
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
(
t
/
2
)
d
t
=
2
⋅
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
(
t
/
2
)
d
t
{\displaystyle 1 = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt = 2 \cdot \frac1{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt}
1
2
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
(
t
/
2
)
d
t
{\displaystyle \frac12 = \frac1{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt}
因此:
S
n
(
f
)
(
x
)
−
f
~
(
x
)
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
sin
t
2
d
t
−
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
sin
t
2
(
f
(
x
+
)
+
f
(
x
−
)
)
d
t
=
1
2
π
∫
0
π
sin
(
(
n
+
1
2
)
t
)
f
(
x
+
t
)
+
f
(
x
−
t
)
−
f
(
x
+
)
−
f
(
x
−
)
sin
t
2
d
t
{\displaystyle \begin{align}
S_n(f)(x)-\tilde{f}(x) &= \frac1{2\pi}\int_0^{\pi}
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2} dt \\
&- \frac1{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{ \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin\frac t 2} \left( f(x^+)+f(x^-) \right) dt \\
&= \frac1{2\pi}\int_0^{\pi}
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)-f(x^+)-f(x^-)}{\sin\frac t 2} dt
\end{align}}
由条件二,以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理,因此可以对两边求极限,得到:
lim
n
→
∞
S
n
(
f
)
(
x
)
=
f
~
(
x
)
{\displaystyle \lim_{n\to \infty} S_n(f)(x) = \tilde{f}(x)}
参见
注释与参考
↑ 狄利克雷 , Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données , Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169
↑ 若尔当, Sur la série de Fourier , C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230
参考书籍
(英文) Allan Pinkus,Samy Zafrany. Fourier series and integral transforms . Cambridge University Press. 1997. ISBN 9780521597715 . p.46-52.
(法文) Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Séries de Fourier et ondelettes . Cassini. 1998. ISBN 284225001X .