微积分基本定理 (英语:Fundamental theorem of calculus )描述了微积分 的两个主要运算──微分 和积分 之间的关系。
定理的第一部分,称为微积分第一基本定理 ,此定理表明:给定任一连续函数,可以(利用积分)构造出该函数的反导函数。这一部分定理的重要之处在于它保证了连续函数 的反导函数 的存在性。
定理的第二部分,称为微积分第二基本定理 或牛顿-莱布尼茨公式 ,表明某函数的定积分 可以用该函数的任意一个反导函数来计算。这一部分是微积分或数学分析中相当关键且应用很广的一个定理,因为它大大简化了定积分的计算。[1]
该定理的一个特殊形式,首先由詹姆斯·格里高利 (1638-1675)证明和出版。[2] 定理的一般形式,则由艾萨克·巴罗 完成证明。
对微积分基本定理比较直观的理解是:把函数在一段区间的“无穷小变化”全部“加起来”,会等于该函数的净变化,这里“无穷小变化”就是微分,“加起来”就是积分,净变化就是该函数在区间两端点的差。
我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动,其位置为x (t ),其中t 为时间,x (t )意味着x 是t 的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化dx 除以时间的无穷小变化dt (当然,该导数本身也与时间有关)。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法 :
d
x
d
t
=
v
(
t
)
.
{\displaystyle \frac{dx}{dt} = v(t). }
整理,得
d
x
=
v
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle dx = v(t)\,dt. }
根据以上的推理,
x
{\displaystyle x}
的变化──
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
,是
d
x
{\displaystyle dx}
的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和,就是积分;所以,一个函数求导之后再积分,得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断,这个运算反过来也成立,积分之后再求导,得到的也是原来的函数。
历史
詹姆斯·格里高利 首先发表了该定理基本形式的几何证明[3] [4] [5] ,艾萨克·巴罗 证明了该定理的一般形式[6] 。巴罗的学生艾萨克·牛顿 使微积分的相关理论得以完善。莱布尼茨 使得相关理论实现体系化并引入了沿用至今微积分符号,
正式表述
微积分基本定理有两个部分,第一部分是关于原函数 的导数,第二部分描述了原函数和定积分 之间的关系。
第一部分 / 第一基本定理
设
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b \in \mathbb{R}}
,
f
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystyle f:[a,b] \mapsto \mathbb{R}}
为连续 函数,对所有的
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
,定义函数 F 如下:
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(x) = \int_a^x\!f(t)\, dt.}
则 F 在闭区间 [a ,b ] 连续,并在开区间 (a , b ) 可微,
且对所有在开区间 (a , b ) 中的 x ,有
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x)=f(x)}
第二部分 / 第二基本定理
假设有两函数,
f
,
F
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystyle f,F:[a,b] \mapsto \mathbb{R}}
,若满足以下条件:
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
,
∀
x
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle F'(x) = f(x),\;\forall x \in (a,b)}
且F 是闭区间 [a ,b ] 上的连续函数,
f 是黎曼可积 函数,
则有:
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int_a^b \, f(t) \, dt \, = F(b)-F(a) }
常简记为
∫
a
b
f
(
t
)
d
t
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
F
(
x
)
|
a
b
{\displaystyle \int_a^b \, f(t) \, dt \, = F(b)-F(a) = F(x)\bigg|_{a}^{b} }
证明
第一部分
设x 1 和x 1 + Δx 为区间[a , b ]中的两个数。我们有
F
(
x
1
)
=
∫
a
x
1
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt}
和
F
(
x
1
+
Δ
x
)
=
∫
a
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt\,.}
两式相减,得
F
(
x
1
+
Δ
x
)
−
F
(
x
1
)
=
∫
a
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
1
f
(
t
)
d
t
.
(
1
)
{\displaystyle F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt. \qquad (1)}
可以证明
∫
a
x
1
f
(
t
)
d
t
+
∫
x
1
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
=
∫
a
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. }
(两个相邻区域的面积之和,等于两个区域合并起来的面积。)
整理,得
∫
a
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
1
f
(
t
)
d
t
=
∫
x
1
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. }
把上式代入(1),得
F
(
x
1
+
Δ
x
)
−
F
(
x
1
)
=
∫
x
1
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
.
(
2
)
{\displaystyle F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. \qquad (2)}
根据积分第一中值定理 ,在区间(x 1 , x 1 + Δx )存在一个c ,使得
∫
x
1
x
1
+
Δ
x
f
(
t
)
d
t
=
f
(
c
)
Δ
x
.
{\displaystyle \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = f(c) \Delta x \,.}
把上式代入(2),得
F
(
x
1
+
Δ
x
)
−
F
(
x
1
)
=
f
(
c
)
Δ
x
.
{\displaystyle F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,.}
两边除以Δx ,得
F
(
x
1
+
Δ
x
)
−
F
(
x
1
)
Δ
x
=
f
(
c
)
.
{\displaystyle \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c). }
注意左边的表达式是F 在x 1 处的牛顿差商 。
两边取Δx → 0的极限,
lim
Δ
x
→
0
F
(
x
1
+
Δ
x
)
−
F
(
x
1
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
c
)
.
{\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). }
左边的表达式是F 在x 1 处的导数的定义。
F
′
(
x
1
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
c
)
.
(
3
)
{\displaystyle F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3) }
我们用夹挤定理 来求另一个极限。c 在区间[x 1 , x 1 + Δx ]内,因此x 1 ≤ c ≤ x 1 + Δx 。
另外
lim
Δ
x
→
0
x
1
=
x
1
{\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1}
and
lim
Δ
x
→
0
x
1
+
Δ
x
=
x
1
.
{\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1\,.}
所以,根据夹挤定理,
lim
Δ
x
→
0
c
=
x
1
.
{\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} c = x_1\,.}
代入(3),可得
F
′
(
x
1
)
=
lim
c
→
x
1
f
(
c
)
.
{\displaystyle F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c)\,.}
函数f 在c 处连续,所以极限可以在函数里面进行。因此,我们有
F
′
(
x
1
)
=
f
(
x
1
)
.
{\displaystyle F'(x_1) = f(x_1) \,.}
证明完毕。
第二部分
设f 在区间[a , b ]上连续,并设F 为f 的原函数。我们从以下表达式开始
F
(
b
)
−
F
(
a
)
.
{\displaystyle F(b) - F(a)\,.}
设有数
x 0 , ..., x n
使得
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
…
<
x
n
−
1
<
x
n
=
b
.
{\displaystyle a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\,.}
可得
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
F
(
x
n
)
−
F
(
x
0
)
.
{\displaystyle F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,.}
我们加上F (x i )及其相反数,这样等式仍成立:
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
F
(
x
n
)
+
[
−
F
(
x
n
−
1
)
+
F
(
x
n
−
1
)
]
+
…
+
[
−
F
(
x
1
)
+
F
(
x
1
)
]
−
F
(
x
0
)
=
[
F
(
x
n
)
−
F
(
x
n
−
1
)
]
+
[
F
(
x
n
−
1
)
+
…
−
F
(
x
1
)
]
+
[
F
(
x
1
)
−
F
(
x
0
)
]
.
{\displaystyle \begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\
& = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \,. \end{matrix}}
以上表达式可用以下的和表示:
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
[
F
(
x
i
)
−
F
(
x
i
−
1
)
]
.
(
1
)
{\displaystyle F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]\,. \qquad (1)}
我们将使用中值定理 。就是:
设F 在闭区间[a , b ]连续,在开区间(a , b )可导,则开区间(a , b )内一定存在c 使得
F
′
(
c
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
b
−
a
.
{\displaystyle F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\,.}
可得
F
′
(
c
)
(
b
−
a
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
.
{\displaystyle F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,}
函数F 在区间[a , b ]可导,所以在每一个区间x i -1 也是可导和连续的。因此,根据中值定理,
F
(
x
i
)
−
F
(
x
i
−
1
)
=
F
′
(
c
i
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
.
{\displaystyle F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,.}
把上式代入(1),得
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
[
F
′
(
c
i
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)
]
.
{\displaystyle F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]\,.}
根据第一部分的结论,我们有
F
′
(
c
i
)
=
f
(
c
i
)
{\displaystyle F'(c_i) = f(c_i)}
。另外,
x
i
−
x
i
−
1
{\displaystyle x_i - x_{i-1}}
可表示为第
i
{\displaystyle i}
个小区间的
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
。
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
∑
i
=
1
n
[
f
(
c
i
)
(
Δ
x
i
)
]
.
(
2
)
{\displaystyle F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,. \qquad (2)}
一个黎曼和的收敛数列。右上角的数是灰色矩形的面积。它们收敛于函数的积分。
注意到我们正在描述矩形的面积(长度乘以宽度),并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到,
Δ
x
i
{\displaystyle \Delta x_i}
并不需要对于任何
i
{\displaystyle i}
都是相同的,换句话说,矩形的长度可以变化。我们要做的,是要用
n
{\displaystyle n}
个矩形来近似代替曲线。现在,当n增加而每一个矩形越来越小时,它的面积就越来越接近曲线的真实面积。
当矩形的宽度趋近于零时取极限,便得出黎曼积分 。也就是说,我们取最宽的矩形趋于零,而矩形的数目趋于无穷大时的极限。
所以,我们把(2)式的两边取极限,得
lim
‖
Δ
‖
→
0
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
lim
‖
Δ
‖
→
0
∑
i
=
1
n
[
f
(
c
i
)
(
Δ
x
i
)
]
.
{\displaystyle \lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.}
F (b )和F (a )都不依赖于||Δ||,所以左面的极限仍然是F (b ) - F (a )。
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
lim
‖
Δ
‖
→
0
∑
i
=
1
n
[
f
(
c
i
)
(
Δ
x
i
)
]
.
{\displaystyle F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.}
右边的表达式定义了f 从a 到b 的积分。这样,我们有
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\,,}
证明完毕。
例子
d
d
x
∫
a
sin
x
e
t
d
t
=
d
d
x
F
(
sin
x
)
=
F
′
(
sin
x
)
cos
x
=
e
sin
x
cos
x
{\displaystyle
\begin{align}
\frac{d}{dx} \int_a^{\sin x} e^t\, dt \\
&= \frac{d}{dx} F(\sin x) \\
&= F'(\sin x) \cos x\\
&= e^{\sin x} \cos x\\
\end{align}
}
计算以下积分:
∫
2
5
x
2
d
x
.
{\displaystyle \int_2^5 x^2\, dx. }
在这里,
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x) = x^2}
,
F
(
x
)
=
x
3
3
{\displaystyle F(x) = {x^3\over 3} }
是一个原函数。因此:
∫
2
5
x
2
d
x
=
F
(
5
)
−
F
(
2
)
=
5
3
3
−
2
3
3
=
39
{\displaystyle \int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {5^3 \over 3} - {2^3 \over 3}=39}
推广
我们不需要假设 f 在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明:如果 f 是区间[a , b ]内的任何一个勒贝格可积的函数,x 0 是[a , b ]内的一个数,使得 f 在 x 0 连续,则
F
(
x
)
=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle F(x) = \int_a^x f(t)\, dt}
在x = x 0 是可导的,且F' (x 0 ) = f (x 0 )。我们可以把f 的条件进一步降低,假设它仅仅是可积的。这种情况下,我们便得出结论:F 几乎处处 可导,且F' (x )几乎处处等于f (x )。这有时称为勒贝格微分定理 。
定理的第一部分对于任何具有原函数F 的勒贝格可积函数f 都是正确的(不是所有可积的函数都有原函数)。
泰勒定理 中把误差项表示成一个积分的形式,可以视为微积分基本定理的一个推广。
对于复数 函数,也有一个类似的形式:假设U 是C 的一个开集,f : U → C 是一个在U 处具有全纯 原函数F 的函数。那么对于所有曲线γ: [a , b ] → U ,曲线积分 可以用下式来计算:
∫
γ
f
(
z
)
d
z
=
F
(
γ
(
b
)
)
−
F
(
γ
(
a
)
)
.
{\displaystyle \int_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\,.}
微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分,也可以推广到流形 。
这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理 :设 M 为一个可定向分段 光滑n 维流形,并设
ω
{\displaystyle \omega}
为n −1阶M 上的C1 类紧支撑 微分形式 。如果∂M 表示M 的边界 ,并以M 的方向诱导的方向为边界的方向,则
∫
M
d
ω
=
∮
∂
M
ω
.
{\displaystyle \int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega\,.}
这里
d
{\displaystyle \mathrm{d}\!\,}
是外导数 ,它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调 和奇异链的同调 联系起来。
参见
注解
↑
更加确切地,该定理涉及了可变上限和任意选择的下限的定积分 。这类特殊的定积分允许我们计算函数的无穷多个原函数 之一(除了那些没有零点的原函数)因此,它几乎跟不定积分 是等价的,大部分作者把它定义为产生任何一个可能的原函数的运算,包括没有零点的原函数。
↑ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History , Mathematical Association of America, 2004, p. 114 .
↑ Malet, Antoni. James Gregorie on tangents and the "Taylor" rule for series expansions. Archive for History of Exact Sciences (Springer-Verlag ). 1993. doi:10.1007/BF00375656 . Gregorie's thought, on the other hand, belongs to a conceptual framework strongly geometrical in character. (page 137)
↑
See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History , Mathematical Association of America, 2004, p. 114.
↑ Gregory, James. Geometriae Pars Universalis. Museo Galileo : Patavii: typis heredum Pauli Frambotti. 1668.
↑ Child, James Mark; Barrow, Isaac. The Geometrical Lectures of Isaac Barrow. Chicago: Open Court Publishing Company . 1916.
参考文献
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Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable . 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals . Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)