函数极限

$x$	$\frac{\sin x}{x}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

上表所示函数的图形，请注意在x=0处取不到值。因为被零除，所以在这一点函数没有意义。

尽管函数 (sin x)/x 的定义域中不包括“0”, 但当 x 无限接近于零时, (sin x)/x 就无限接近于一. 这就是说, x 接近于零时，(sin x)/x 的极限是 1。

在数学中，函数极限是微积分学和数学分析的一个基本概念。它描述函数值在接近某一给定的自变量时的特征。

不严格地讲，函数 $f$ 对于每个给定的在定义域内自变量，都会有一个对应的因变量 $f(x)$ 。声称在自变量为 $p$ 时，函数极限为 $L$ 则表明：当自变量 $x$ 的值无限接近于 $p$ 时，因变量 $f(x)$ 的值便无限接近于 $L$ 。另一方面，如果存在十分接近于 $p$ 的自变量所对应的因变量的值与 $L$ 的值相差较大，则表示函数极限不存在。^[1]

极限的概念在现代微积分领域用途良多。比如，连续性的定义。除此之外，它还被用于导数的定义。

定义

自变量趋于有限值时函数的极限

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的 $\epsilon >0$ ，必存在 $\delta >0$ ，使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 $\left|f(x)-A\right|<\epsilon$ ，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时的极限，记作 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)= A$ 或 $f(x)\rightarrow A$ （ $x\rightarrow x_0$ ）。

只需把 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 改为 $x_0-\delta<x<x_0$ ，即可得到左极限的定义，记为 $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)= A$ 或 $f(x)\rightarrow A$ （ $x\rightarrow x_0^-$ ）；类似地，只需把 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 改为 $x_0<x<x_0+\delta$ ，即可得到右极限的定义，记为 $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)= A$ 或 $f(x)\rightarrow A$ （ $x\rightarrow x_0^+$ ）。

容易证明，函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在且相等。

自变量趋于无穷大时函数的极限

设函数 $f(x)$ 当 $\left|x\right|$ 大于某一正数时有定义。如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的 $\epsilon >0$ ，必存在 $X >0$ ，使得当 $\left|x\right|>X$ 时，有 $\left|f(x)-A\right|<\epsilon$ ，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow\infty$ 时的极限，记作 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)= A$ 或 $f(x)\rightarrow A$ （ $x\rightarrow \infty$ ）。

只需把 $\left|x\right|>X$ 改为 $x>X$ ，即可得到 $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)= A$ 的定义；类似地，只需把 $\left|x\right|>X$ 改为 $x<-X$ ，即可得到 $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)= A$ 的定义。

常用公式

有理函数

以下公式中， $n>0, a>1$ 。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$
$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^x} = 0$
$\lim_{x \to 0^{+}}{1\over x} = +\infty$
$\lim_{x \to 0^{-}}{1\over x} = -\infty.$

无理函数

$\lim_{x \to \infty}\sqrt[x]{x} = 1$
$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

三角函数

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x} {x} = 1$
$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x} {x} = 0$

指数函数

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1$