上极限和下极限的示意图。数列 x n 为蓝色。两个红色虚线曲线逼近数列 x n 的上极限和下极限。数列的上下极限相等当且仅当此数列收敛
在微积分学 中,上极限和下极限 (英语:Limit superior and limit inferior )是指数列极限 的上极限和下极限,可以大致想像为数列极限的上下界。举例来说,数列
{
(
−
1
)
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{(-1)^n\}_{n=1}^{\infty}}
的上极限为 1,下极限为 -1。
函数 的上极限和下极限可以用类似方式考虑。[注 1] 。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点 的上确界 和下确界 。
定义
序列
(
x
n
)
{\displaystyle (x_n)}
的上极限定义是
lim sup
n
→
∞
x
n
=
inf
n
≥
0
sup
k
≥
n
x
k
=
inf
{
sup
{
x
k
:
k
≥
n
}
:
n
≥
0
}
{\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\inf\{\,\sup\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}
;
或者
lim sup
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
sup
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{m\geq n}x_m\right)}
。
同样的,序列
x
n
{\displaystyle x_n}
的下极限定义是
lim inf
n
→
∞
x
n
=
sup
n
≥
0
inf
k
≥
n
x
k
=
sup
{
inf
{
x
k
:
k
≥
n
}
:
n
≥
0
}
{\displaystyle \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\,\inf\{\,x_k:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}}
;
或者
lim inf
n
→
∞
x
n
=
lim
n
→
∞
(
inf
m
≥
n
x
m
)
{\displaystyle \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{m\geq n}x_m\right)}
。
这些定义在任意的偏序集 都适用,只需要上确界 和下确界 存在。
在完全格 里,上确界和下确界总是存在,所以其中的序列一定有上极限和下极限。
每当
lim inf
x
n
{\displaystyle \liminf x_n}
和
lim sup
x
n
{\displaystyle \limsup x_n}
都存在,那么
lim inf
n
→
∞
x
n
≤
lim sup
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n}
。
上极限和下极限也记为
lim
¯
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \varlimsup_{n\rightarrow\infty} x_n}
和
lim
_
n
→
∞
x
n
{\displaystyle \varliminf_{n\rightarrow\infty} x_n}
。
实数数列
实数集 R 的数列 对微积分 很重要。R 不是完备格 ,但可以加入正负无穷 以得到完备全序集
[
−
∞
,
+
∞
]
{\displaystyle [-\infty,+\infty]}
,形成完备格 。那么在
[
−
∞
,
+
∞
]
{\displaystyle [-\infty,+\infty]}
中数列
(
x
n
)
{\displaystyle (x_n)}
收敛 当且仅当
lim inf
x
n
=
lim sup
x
n
{\displaystyle \liminf x_n = \limsup x_n}
,而这时
lim
x
n
{\displaystyle \lim x_n}
等于上面的共同值。[注 2]
若实数数列
(
x
n
)
{\displaystyle (x_n)}
的上极限为实数[注 3] ,那么上极限是最小的实数 a ,使得对任意小的正实数
ϵ
{\displaystyle \epsilon}
,都存在足够大的正整数 N ,使得对所有
n
≥
N
{\displaystyle n\ge N}
,都有
x
n
<
a
+
ϵ
{\displaystyle x_n < a + \epsilon}
。换言之,对任何大于上极限的实数,都存在 N 使得这实数是数列
(
x
n
)
n
≥
N
{\displaystyle (x_n)_{n\ge N}}
的上界 。
若实数数列
(
x
n
)
{\displaystyle (x_n)}
的下极限为实数,那么下极限是最大的实数 b ,使得对任意小的正实数
ϵ
{\displaystyle \epsilon}
,都存在足够大的正整数 N ,使得对所有
n
≥
N
{\displaystyle n\ge N}
,都有
x
n
>
b
−
ϵ
{\displaystyle x_n > b - \epsilon}
。换言之,对任何小于下极限的实数,都存在 N 使得这实数是数列
(
x
n
)
n
≥
N
{\displaystyle (x_n)_{n\ge N}}
的下界 。
设
(
x
n
)
{\displaystyle (x_n)}
是整数数列。若其上极限为实数 a ,由于
⌊
a
⌋
{\displaystyle \lfloor a\rfloor }
也符合上述条件,故此 a 必是整数。[注 4] 在条件中取
ϵ
<
1
{\displaystyle \epsilon < 1}
,得出 a 是最小的实数,使得存在正整数 N ,对所有
n
≥
N
{\displaystyle n\ge N}
,都有
x
n
≤
a
{\displaystyle x_n \le a }
。因此 a 是最大的整数,使得有无限个
x
n
=
a
{\displaystyle x_n = a }
。同样地,若其下极限为实数 b ,则 b 是最小的整数,使得有无限个
x
n
=
b
{\displaystyle x_n = b }
。
若
I
=
lim inf
x
n
{\displaystyle I=\liminf x_n}
和
S
=
lim sup
x
n
{\displaystyle S=\limsup x_n}
,那么区间
[
I
,
S
]
{\displaystyle [I,S]}
不一定包含任何的
x
n
{\displaystyle x_n}
,但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε]
对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 x n 。区间 [I , S ] 是适合这个性质的最小闭区间。
例子
设
x
n
=
(
−
1
)
n
(
1
+
1
n
)
{\displaystyle x_n=(-1)^n\left(1+\frac 1 n\right)}
,则
lim inf
x
n
=
−
1
{\displaystyle \liminf x_n=-1}
,
lim sup
x
n
=
1
{\displaystyle \limsup x_n=1}
。闭区间[-1, 1]中不包含任何
x
n
{\displaystyle x_n}
。
考虑数列
x
n
=
sin
n
{\displaystyle x_n=\sin \!n}
。应用π 的无理数 性质,可以证明
lim inf
x
n
=
−
1
{\displaystyle \liminf x_n = -1}
和
lim sup
x
n
=
+
1
{\displaystyle \limsup x_n = +1}
。[注 5]
lim inf
n
→
∞
(
p
n
+
1
−
p
n
)
{\displaystyle \liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)}
其中
p
n
{\displaystyle {p_n}}
是第
n
{\displaystyle n}
个素数 。[注 6]
集的序列
集合 X 的幂集 P (X )是完备格 。对于P (X )中的序列,也就是X 的子集的序列,其上下极限也有用处。
若
X
n
{\displaystyle X_n}
是这样的序列,那么X 的元素a 属于
lim inf
X
n
{\displaystyle \liminf X_n}
,当且仅当存在自然数
n
0
{\displaystyle n_0}
使得对于所有
n
>
n
0
{\displaystyle n>n_0}
,a 在
X
n
{\displaystyle X_n}
里。元素a 属于
lim sup
X
n
{\displaystyle \limsup X_n}
,当且仅当对所有自然数
n
0
{\displaystyle n_0}
,都存在一个指数
n
>
n
0
{\displaystyle n>n_0}
使得a 在
X
n
{\displaystyle X_n}
里。换句话说,
lim sup
X
n
{\displaystyle \limsup X_n}
包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有无限多个n ,使得它在集合
X
n
{\displaystyle X_n}
里;而
lim inf
X
n
{\displaystyle \liminf X_n}
包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有除了有限多个外的所有n ,使得它在
X
n
{\displaystyle X_n}
里。
以集合论的标准语言来说,一个集合序列的下确界是这些集合的可数交,也就是包含在所有集合里的最大集合:
inf
{
X
m
:
m
=
1
,
2
,
3
,
…
}
=
⋂
m
=
1
∞
X
m
{\displaystyle \inf\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcap_{m=1}^\infty}X_m}
。
令
I
n
{\displaystyle I_n}
为自
X
n
{\displaystyle X_n}
起的集合的下确界。那么序列
I
n
{\displaystyle I_n}
非递减,因为
I
n
⊂
I
n
+
1
{\displaystyle I_n \sub I_{n+1}}
。所以,第1至n 个下确界的并集就是第n 个下确界。下极限就是这序列的极限:
lim inf
n
→
∞
X
n
=
⋃
n
=
1
∞
(
⋂
m
=
n
∞
X
m
)
{\displaystyle \liminf_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}X_m\right)}
。
上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合,也就是它们的可数并:
sup
{
X
m
:
m
=
1
,
2
,
3
,
…
}
=
⋃
m
=
1
∞
X
m
{\displaystyle \sup\left\{\,X_m : m=1,2,3,\dots\,\right\}={\bigcup_{m=1}^\infty}X_m}
。
上极限是这个非递增的上确界序列的可数交(其中每个上确界都包含在前一个里面)。
lim sup
n
→
∞
X
n
=
⋂
n
=
1
∞
(
⋃
m
=
n
∞
X
m
)
{\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty}X_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}X_m\right)}
。
例子或应用可见波莱尔-坎泰利引理 ,柯西-阿达马公式 (Cauchy-Hadamard Formula)。
注释
引用
Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536 .
González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154 .