隐函数定理

在数学分析中，隐函数定理是一个用来回答下面的问题的工具：以隐函数表示的多变量函数，这函数的变量在局部上是否存在显式的关系？隐函数定理说明，对于一个由关系 $f (x, y)=0$ 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有邻域使得在该邻域内 $y$ 可以表示成关于 $x$ 的函数：

y =h(x)

这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。

举一个简单例子：假设两个变量 $x, y$ 满足隐函数 $x 2 + y 2 - 1 = 0$ ，此隐函数代表了平面上的单位圆，任取单位圆中的一点，那是否存在包含该点的邻域跟定义在邻域里的显函数 $y = h (x)$ 去(局部的)描述这单位圆的图形？

答案是：除了 $(-1,0)$ 跟 $(1,0 )$ 两点外，其他点局部上都有 $y = h (x)$ 的显函数表达式。理由请看下面的隐函数定理。

例子

有函数 $f(x,y)=x^2 + y^2$ ，那么方程式 $f(x,y)-1=0$ 的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整体上是无法表示成单变数函数 $y = h(x)$ 的形式的，因为每个 $x \in (-1,1),$ 都有两个 $y$ 的值与之对应，即 $\pm\sqrt{1-x^2}$ 。

然而在某些点附近，局部地用 $x$ 来表示 $y$ 是可能的。比如给定圆上一点 $(x,y)$ ，如果 $y>0$ ，也就是说如果只选取圆的上半部分的话，在这一点附近 $y$ 可以写成关于 $x$ 的函数： $y = \sqrt{1-x^2}$ 。如果 $y<0$ ，在圆的下半部分 $y$ 也可以写成关于 $x$ 的函数： $y = - \sqrt{1-x^2}$ 。

但是，在点 $(\pm1,0)$ 的附近， $y$ 无法写成关于 $x$ 的函数，因为这些点的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是说对于附近的每一个 $x$ ，都有两个 $y$ 的值与之对应，这种情况下 $y$ 无法写成 $x$ 的函数。

定理的叙述：欧几里得空间的情况

设 $f : R n+m \to R m$ 为一个连续可微函数。这里 $R n+m$ 被看作是两个空间的直积： $R n \times R m$ ，于是 $R n+m$ 中的一个元素写成 $(x, y) = (x 1, ..., x n, y 1, ..., y m)$ 的形式。我们的目标是找到一个函数 $h : R n \to R m$ ，让这函数的图形(graph of a function), $(x, h (x))$ , 局部上恰好等于集合{ $(x, y) | f (x, y) = 0$ }，当然这目标不见得一定可以达成，接下来我们会看需要哪些条件来保证函数 $h$ 的局部存在。

固定一点 $(a, b) = (a 1, ..., a n, b 1, ..., b m)$ 使得 $f (a, b) = 0$ ，我们希望在点 $(a, b)$ 的附近找到一个 $y$ 关于 $x$ 的函数 $h$ ，严格来说，就是说存在 $a$ 的邻域 $U \subseteq R n$ 和 $b$ 的邻域 $V \subseteq R m$ 以及函数： $h : U \to V$ ，使得 $h$ 的函数的图形 $(x, h (x))$ 刚好等于 $U \times V$ 中 $f (x, y) = 0$ 的集合，也就是说：

\{ (\mathbf{x}, h(\mathbf{x})) \mid \mathbf x \in U \} = \{ (\mathbf{x}, \mathbf{y})\in U \times V \mid f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{0} \}

。

要保证这样的函数 $h$ 存在，函数 $f$ 的雅可比矩阵要满足某些性质。对于给定的一点 $(a, b)$ ， $f$ 的雅可比矩阵写作：

{\displaystyle (Df)(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \left[\begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b}) \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\ \end{matrix}\right] = [X|Y]}

其中的矩阵 $X$ 是函数 $f$ 关于变数 $x$ 的偏微分，而矩阵 $Y$ 是 $f$ 关于变数 $y$ 的偏微分。隐函数定理说明了：如果 $Y$ 是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的邻域 $U$ 、 $V$ 和函数 $h (x)$ 就会存在。正式的叙述就是：

设

f : R n+m \to R m

为连续可微函数，让

R n+m

中的坐标记为

(x, y)

,

(x, y) = (x 1, ..., x n, y 1, ..., y m)

。给定一点

(a 1, ..., a n, b 1, ..., b m) = (a, b)

使得

f (a, b)= 0

（

0 \in R m

，是个零向量）。如果

m \times m

矩阵

[(\partial f i / \partial y j)(a, b)

是可逆矩阵的话（此矩阵即上面的矩阵

Y

），那么存在

a

的邻域

U \subseteq R n

、

b

的邻域

V \subseteq R m

以及唯一的连续可微函数

h : U \to V

，使得

h(\mathbf{a}) = \mathbf{b}

且

f(\mathbf{x}, h(\mathbf{x})) = \mathbf{0},\,\,

对所有的

\mathbf{x}\in U

。

一般情形

设 $E_1$ 、 $E_2$ 和 $F$ 是三个巴拿赫空间，而 $U$ 、 $V$ 分别是 $E_1$ 、 $E_2$ 上的两个开集。设函数：

f : U \times V \rightarrow F

是一个 $k~(k \ge 1)$ 阶可微函数（见Fréchet导数），并且对于 $E_1 \times E_2$ 中的一点 $(x_0, y_0)$ ，满足：

$f(x_0, y_0)=0$
映射 $y\mapsto (Df(x_0, y_0))(0,y)$ 是一个从 $E_2$ 到 $F$ 的同构

那么有如下结论：

存在

x_0

的邻域

U_0 \subset U

、

y_0

的邻域

V_0 \subset V

，以及

k

阶Fréchet可微函数

\varphi : U_0 \rightarrow V_0

，使得：

对任意

(x, y) \in U_0 \times V_0

，只要

f(x, y)=0

，就有

y = \varphi (x)

。

参见

参考来源

（英文）Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF). Iowa State University. [2009-11-05].
Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984.

Danilov, V.I., Implicit function (in algebraic geometry), Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2.

Fritzsche, K.; Grauert, H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. 2002.

Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522.

Kudryavtsev, Lev Dmitrievich, Implicit function, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117.

Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.