等比数列

等比数列，又名几何数列（英文：geometric sequence 或 geometric progression），是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比（common ratio）。

例如数列：

$3, 6, 12, 24, 48, 96, ...$

就是一个等比数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于$2$。

性质

如果一个等比数列的首项记作$a$，公比记作$r$，那么该等比数列第$n$项$a_n$的一般项为：

$a_n=ar^{n-1}$

换句话说，任意一个等比数列$\{a_n\}$都可以写成

$\{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^2\,,\,\cdots\,,\,\,ar^{n-1}\}$

在一个等比数列中，给定任意两相连项$a_{n+1}$和$a_n$（其中$a_n\ne0$），可知公比

$r=\frac{a_{n+1}}{a_n}$

给定任意两项$a_m$和$a_n$，则有公比

$r=\sqrt[m-n]{\frac{a_m}{a_n}}$

这里注意，若$m-n$是偶数，则公比可取此结果的正值或负值。

此外，在一个等比数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之积，为原来该项的平方。举例来说，$a_1\times a_3={a_2}^2$。

更一般地说，有：

$a_{n-1}\times a_{n+1}={a_n}^2$

证明如下：

$\begin{align} a_{n-1}\times a_{n+1} & = ar^{n-2}\times ar^n \\ & = a^2 \times r^{2n-2} \\ & = (ar^{n-1})^2 \\ & = {a_n}^2 \\ \end{align}$

证毕。 从另一个角度看，等比数列中的任意一项，是其前一项和后一项的几何平均：

$a_n=\pm \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

此结果从上面直接可得。 如果有整数$m,n,p,q$，使得 $m+n=p+q$，那么则有：

$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$

证明如下：

$\begin{align} a_m \cdot a_n &=ar^{m-1} \cdot ar^{n-1} \\ &=a^2 r^{m+n-2} \\ &=a^2 r^{p+q-2} \\ &=ar^{p-1} \cdot ar^{q-1} \\ &=a_p \cdot a_q \\ \end{align}$

由此可将上面的性质一般化成：

$a_{n-k} \cdot a_{n+k}={a_n}^2$

$a_n=\pm \sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}$

其中$k$是一个小于$n$的正整数。

给定一个等比数列 $\{a_n\}$，则有：

• $\{b\cdot a_n\}$ 是一个等比数列。
• $\{\frac{b}{a_n}\}$ 是一个等比数列。
• $\{\log_b(a_n)\}$ 是一个等差数列。

从等比数列的一般项可知，任意一个可以写成

$a_n=pq^n$

形式的数列，都是一个等比数列，其中公比$r=q$，首项$a=pq$。

等比数列和

一个等比数列的首$n$项之和，称为等比数列和（sum of geometric sequence）或几何级数（geometric series），记作$S_n$。

举例来说，等比数列$\{1,2,4,8\}$的和是$1+2+4+8=15$。

等比数列求和的公式如下：

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

其中$a$为首项，$n$为项数，$r$为公比，且$r\ne1$。 公式证明如下：

将等比数列和写作以下形式：

$S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}$ ……(1)

将两边同乘以公比 r，有：

$rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^n$ ……(2)

(1)式减去(2)式，有：

$(1-r)S_n=a-ar^n$

当$r\ne1$时，整理后得证。

当$r=1$时，可以发现：

$\begin{align} S_n & = a +ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} \\ & = \begin{matrix} \underbrace {a+a+a+\cdots+a} \\ n \end{matrix} \\ & = n \times a \\ & = an \\ \end{align}$

综上所述，等比数列的求和公式为：

$S_n=\begin{cases} \frac{a(1-r^n)}{1-r}&r\neq1\\ an&r=1 \end{cases}$

当$-1<r<1$时，注意到

$\lim_{n\rightarrow\infty}r^n=0$

因此，我们可得无限项之和（sum to infinity）的公式为

$S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$

由此可见，当$-1<r<1$时，几何级数会收敛到一个固定值。

等比数列积

一个等比数列的首 n 项之积，称为等比数列积（product of geometric sequence），记作 P_n。

举例来说，等比数列$\{1,2,4,8\}$的积是$1\times2\times4\times8=64$。

等比数列求积的公式如下：

$P_n=a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}$

证明如下：

$\begin{align} P_n&=a\cdot ar \cdot ar^2 \cdot \cdots \cdot ar^{n-1} \\ &=a^n \cdot r^{1+2+\cdots+(n-1)}\\ &=a^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}} \\ \end{align}$

最后一步，使用了等差数列的求和公式。

参见

• 序列
• 数列
• 级数
• 几何级数
• 几何平均
• 等差数列
• 等谐数列
• 国际象棋盘与麦粒问题

参考文献

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html .