代換積分法

代換積分法（英語：Integration by substitution），又稱變數變換法，是求積分的一種方法。它是由鏈式法則和微積分基本定理推導而來的。

第一類代換法

設$f(x)\$為可積函數，$g=g(x)\$為連續可導函數，則有：

$\int^\beta_\alpha f(g)g'\mathrm{d}x=\int^{g(\beta)}_{g(\alpha)}f(g)\mathrm{d}g$

第一類代換法的基本思想是配湊的思想。

第二類代換法

設$f(x)\$為可積函數，$x=x(g)\$為連續可導函數，則有：

$\int^\beta_\alpha f(x)\mathrm{d}x=\int^{x^{-1}(\beta)}_{x^{-1}(\alpha)}f(x(g))x'\mathrm{d}g$

在遇到類似$\sqrt{x^2-a^2}$、$\sqrt{x^2+a^2}$和$\sqrt{a^2-x^2}$的式子時，通常採取分別令$x= \pm a\sec t$、$x= \pm a\tan t$或$x= \pm a\sin t$進行代換，得到關於$t$的一個原函數。如果要計算不定積分，則再由$x$與$t$的關係還原即可；如果要計算定積分，只需在變換後的積分限$\alpha$和$\beta$下計算相應的定積分即可。

例子

計算積分$\int^2_0x\cos(x^2+1)\,dx$。

$\begin{alignat}{2}d\left(x^2+1\right)=2x\,dx&\iff dx=\frac{d\left(x^2+1\right)}{2x}\\ \therefore\int^2_0x\cos(x^2+1)\,dx&=\frac{\int^2_02x\cos(x^2+1)\,dx}{2}\\ &=\frac{\int_{1}^5\cos(x^2+1)\,d\left(x^2+1\right)}{2}\\ &=\frac{\sin 5-\sin 1}{2}\\ \end{alignat}$

其中 $dx$ 代換為 $d\left(x^2+1\right)$ 後，$\int^2_0$ 亦變為 $\int^5_1$，是因為其形式為黎曼－斯蒂爾傑斯積分，但在黎曼－斯蒂爾傑斯積分中變數的取值範圍應該還是 x 的取值範圍，而不是 g(x) 的取值範圍。

參見

• 分部積分法