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命名
數字	0
名稱	0
小寫	〇
大寫	零
序數詞	第零; zeroth
識別
種類	整數
性質
質因數分解	不在可因數分解的整數的範圍內; （任意質數皆為其質因數）
表示方式
花碼	〇
算籌
二進制	0
八進制	0(8)
十二進制	0(12)
十六進制	0(16)
	閱; 論; 編;

0（〇／零）是-1與1之間的整數，也是兩個奇數之間的偶數。0既不是正數也不是負數。在數論中，0不屬於自然數；但在集合論和電腦科學中，0屬於自然數。0在整數、實數和其他的代數結構中都有着單位元這個很重要的性質。

歷史

0字體的發明始於印度。公元前2000年，印度最古老的文獻《吠陀》已有特別「0」概念的應用，當時的0在印度表示無（空）的位置。約在6世紀初，印度開始使用命位記數法。7世紀初印度大數學家婆羅摩笈多首先說明了0加0是0，任何數加上0或減去0得任何數。遺憾的是，他並沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。也有的學者認為，0的概念之所以在印度產生並得以發展，是因為印度佛教中存在着「絕對無」這一哲學思想。公元733年，印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數法介紹給了阿拉伯人，因這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字。這套記數法後來又傳入西歐地區，由歐洲發揚光大。

說起「0」的出現，應該指出，中國古代文字中，「零」字出現很早。不過那時它不表示「空無所有」，而只表示「零碎」、「不多」的意思。如「零頭」、「零星」、「零丁」。「一百零五」的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨着阿拉數字的引進。「105」恰恰讀作「一百零五」，「零」字與「0」恰好對應，「零」也就具有了「0」的含義。0在中國古代叫做金元數字。

關於0這個數字的概念在其它地區很早就有。巴比倫人、埃及人、瑪雅人以及印度人分別獨立發明了「零」^[1]。公元前3000年，巴比倫人就已經懂得使用零來避免混淆。古埃及早在公元前2千年就有人在記帳時用特別符號來記載零。

瑪雅文明最早發明特別字型的0。瑪雅數字中0 以貝殼模樣的象形符號代表。 0這個字型的數字是在5世紀由古印度人發明。他們最早用黑點「.」表示零，後來逐漸變成了「0」。

7世紀初印度大數學家葛拉夫·瑪格蒲達首先說明了任何數加上0或減去0得任何數。遺憾的是，他並沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。公元733年，印度一位天文學家在存取現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數法介紹給了阿拉伯人，因這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字。這套記數法後來又傳入西歐。在東方國家由於數學是以運算為主（西方當時以幾何並在開頭寫了「印度人的9個數字，加上阿拉伯人發明的0符號便可以寫出所有數字。由於一些原因，在初引入0這個符號到西方時，曾經引起西方人的困惑，當時西方認為所有數都是可數，而0這個數字會使很多算式、邏輯不能成立^[2]（如除以0），甚至認為是魔鬼數字，而被禁用^[3]；直至約公元15、16世紀，0才逐漸給西方人所認同，使西方數學有快速發展。^[4]

中國古代的籌算數碼中沒有「零」，遇到「零」就空位。比如「6708」就可以表示為「┴　╥ 」(〦〧〨)。數字中沒有「零」，是很容易發生錯誤的。所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與「零」的出現有關。自從前4世紀，中國數學家已經了解負數和零的概念。^[5]1世紀的《九章算術》說：「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」（這段話的大意是「減法：遇到同符號數字應相減其數值，遇到異符號數字應相加其數值，零減正數的差是負數，零減負數的差是正數。」）以上文字裏的「無入」通常被數學歷史家認為是零的概念。（全文見維基文庫的《九章算術》）雖然如此，但是當時並沒有使用符號來表示零。

在690年時，武則天頒佈了則天文字，其中一個字就是「〇」，當時的意義同「星」。現在表示零的符號「0」是該字元的變體。^[6]

七世紀的古印度婆羅摩笈多是第一個提出有關0的計算規則的數學家。瞿曇悉達於718年將印度數字〇引入中國，以此來代替算籌。^[7] ^[8]宋朝蔡沈《律率新書》中用方格表示空缺。金朝《大明曆》中有「四百〇三」，「三百〇九」等數字^[9]。1247年，秦九韶在其著作數書九章中使用符號「〇」來表示零的概念。^[10]李冶《測圓海鏡》第十四問中用

元

。

代表： $-480-x$ 。

10世紀波斯數學家伊本·拉班《印度算術原理》第一部分敘述用印度數字0-9（० ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹）為基礎的十進位制四則運算和開平方、開立方的土盤程式。

在1202年時，意大利商人斐波納契寫了一本《算盤書》。在東方中由於數學是以算術為主（西方當時以幾何和邏輯為主），由於運算上的需要，自然地引入了0這個數。

數學性質

0是否屬於自然數仍有爭議，數論領域認為0不屬於自然數，集合論和電腦科學領域認為0屬於自然數。
國際標準ISO 31-11:1992中，從集合論角度規定：符號 $\mathbb{N}$ 所表示的自然數包括正整數和0。中國國家標準GB 3102-11:93參照國際標準作出同樣規定。

平方數，為0的平方。
立方數，為0的立方。
第1個普洛尼克數，為0與1的乘積。下一個為2。
第0個佩爾數。下一個為1。
第0個斐波那契數。前一個、下一個與下兩個皆是1、前兩個是-1。
0是個高斯整數。
0可被2整除，所以0是偶數。
分數中的分母不可以是0。
0非正非負，0的相反數和絕對值是其本身。
0乘以任何實數都等於0（0×10=0），任何實數加上0等於其本身（1+0=1）。
0沒有倒數和負倒數，任何數（包括0）除以0皆無意義。
0不能做對數的底。
0的正數次方等於0，0的負數次方是無意義。
0的0次方目前是未定式，部分領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。^[11]^[12]
0! 定義為1。
0是任何數的倍數。
0作為序數一般僅出現於計算機領域。
0是斐波那契數列中，僅有的3個平方數之一（另外兩個是1與144）。^[13]
0是唯一一個使得沒有複數w滿足e^w = z的複數z。

0的因數和倍數

當 $a \times b = c$ （ $a\,\!$ 、 $b\,\!$ 、 $c\,\!$ 為整數）時，定義 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 為 $c\,\!$ 的因數， $c\,\!$ 為 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 的倍數。

\because a \times 0 = 0

（

a\,\!

為任何實數）

\therefore a

為0的因數，0為

a\,\!

的倍數，也就是說，任何整數都是0的因數。

另外，因為0不能作為任何數的因數，所以0沒有倍數。

人類文化

在計算機科學中，0經常用於表示布林值假（F）。
在數碼電路中，不使用精確的電壓值來代表訊號的值，只使用「0」和「1」兩個值。「0」表示低於預先規定的閾值電壓，被稱為低電平或者邏輯0。與之對應，「1」表示高於預先規定的閾值電壓，被稱為高電平或者邏輯1。注意負邏輯時的規定相反，高電平為邏輯0。
在電話網絡中，國家代碼（國家或地區號）開始為00（兩個0），其下的地方區號（郡或市等地區代碼）開始為0（一個0）。
數字0的使用使數學快速發展。
0號線

參考來源

文獻

柯利弗德·皮寇弗; 陳以禮（翻譯）. The Math Book:From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics [數學之書]. 時報文化. 2013-04-16. ISBN 978-957-135-699-0 （繁體中文）.

參照

↑ 柯利弗德 2013，第45頁
↑ Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141. ISBN 9781441183910.
↑ Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6. ISBN 9780738711485.
↑ J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor數學史檔案. [2015-01-14].
↑ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
↑ 小寫〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的編碼是U+3007，勿與圈號（CIRCLE）混淆。
↑ Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科學出版社, 1964
↑ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 東京: 東洋書店, 1999, ISBN 4-88595-226-3
↑ 郭書春著《中國科學技術史·數學卷》394頁科學出版社2010
↑ Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.
↑ 存档副本 (PDF). [2011-12-09].
↑ sci.math FAQ: What is 0^0?. [2011-12-09].
↑ JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

參見

[1] 柯利弗德 2013，第45頁

[2] Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141. ISBN 9781441183910.

[3] Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6. ISBN 9780738711485.

[4] J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor數學史檔案. [2015-01-14].

[5] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[6] 小寫〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的編碼是U+3007，勿與圈號（CIRCLE）混淆。

[7] Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科學出版社, 1964

[8] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 東京: 東洋書店, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[9] 郭書春著《中國科學技術史·數學卷》394頁科學出版社2010

[10] Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.

[11] 存档副本 (PDF). [2011-12-09].

[12] sci.math FAQ: What is 0^0?. [2011-12-09].

[13] JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

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