除法

将20个苹果平均分成四等分（左上），每份有5个苹果（右下），即${ {20}\div {4} } = 5$；亦可以说成，将20个苹果每5个分成一份（右下），共可分成四等分（左上），此时可以表达为${ {20}\div {5} } = 4$。

数学中，尤其是在基本计算里，除法可以看成是“乘法的反运算”，也可以理解为“重复的减法”。除法运算的本质就是“把参与运算的除数变为$1$，得出同比的被除数的值”。

例如：${ {6}\div {3} } = 2$，就好像${ {{ {6}-{3} }}-{3} } = 0$， $\begin{cases} 6-3 = 3 \\ 3-3 = 0 \end{cases}$，$6$被$3$减了两次后，就变成了$0$。

如果

$a \times b = c$

而且$b$不等于零，那么

$a = c \div b$

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商数（$a$）必须是整数，则称为带余除法，$a \times b$与$c$相差的数值，称为余数（$d$）。

$c \div b = a \dots d$

这也意味着

$c = a \times b + d$

在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中，$c \div b$写成$c/b$。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中寻找商数的函数为$\operatorname{div}$，寻找余数的函数则为$\operatorname{mod}$。

在大部分的非英语语言中，$c:b$代表$c \div b$的比，读做c比b；$c/b$则代表$c \div b$的比值。用法请参照比例。

整除

整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数$a$可以被自然数$b$整除，是指$b$是$a$的约数，且a是b的整数倍数，也就是$a$除以$b$没有余数。

$a \div b = q \dots 0$

约数判别法可参照整除规则。

表示法

$b \mid a$表示$b$整除$a$，即$a$是$b$的倍数，$b$是$a$的因数。

举例

$15$可以被$5$整除，记作$5 \mid 15$。

$20$不能被$6$整除（因为余数为$2$），记作$6 \nmid 20$。在$\mid$上加一条斜线即表示不整除。

除法计算

根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

长除法

长除法俗称“长除”，适用于正式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。

使用长除法计算${ {1260257}\div {37} } = 34061$的过程可以表示为：

$1260257 \div 37$的演算过程

$\begin{array}{l} 37 \ \big) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \! \! \! \! \! \begin{array}{r} 34061 \\ \hline \ 1260257 \\ 111 \quad \quad \\ \hline 150 \quad \ \ \\ 148 \quad \ \ \\ \hline 225 \ \ \\ 222 \ \ \\ \hline 37 \\ 37 \\ \hline 0 \\ \end{array}$

短除法

短除法是长除法的简化版本。在短除法里，被除数放中央，旁以一L型符号表示除法，被除数左侧为除数，下侧为商，省去了长除法逐层计算的过程。

• 使用短除法计算$3 \div 7$的近似值：

$\begin{array}{r} 7 \ | \! \underline{\, \ 3.00000000000000000 \dots \ } \\ 0.42857142857142857 \dots \ \end{array}$

• 使用短除法计算$420$的素因数分解：

$\begin{array}{r} 2 \ | \! \underline{\, \ \ \ 420 \ } \\ 2 \ | \! \underline{\, \ \ 210 \ } \\ 3 \ | \! \underline{\, \ 105 \ } \\ 5 \ | \! \underline{\, \ 35 \ } \\ 7 \ \end{array}$

$420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$

• 使用短除法计算$420,270$的最大公约数及最小公倍数：

$\begin{array}{r} 2 \ | \! \underline{\, \ \ \ 420 \quad 270 \ } \\ 3 \ | \! \underline{\, \ \ 210 \quad 135 \ } \\ 5 \ | \! \underline{\, \ 70 \quad \ \ 45 \ } \\ 14 \quad \ \ \ \ 9 \ \end{array}$

$\begin{cases} \gcd(420, 270) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \\ \operatorname{lcm}(420, 270) = 2 \times 3 \times 5 \times 14 \times 9 = 3780 \end{cases}$

多项式的除法

主条目：综合除法

和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式$A$和非零多项式$B$，则存在唯一的多项式$Q$和$R$，满足：

$A = BQ + R$

而多项式$R$若非零多项式，则其幂次严格小于$B$的幂次。

作为特例，如果要计算某个多项式$P$除以一次多项式$X-a$得到的余多项式，可以直接将$a$代入到多项式$P$中。$P$除以$X-a$的余多项式是$P(a)$。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算$X^3 - 12X^2 - 42$除以$X-3$，列式如下：

$\begin{matrix} \qquad\quad\;\, X^2 \; - 9X \quad - 27\\ \qquad\quad X-3\overline{\vert X^3 - 12X^2 + 0X - 42}\\ \;\; \underline{\;\;X^3 - \;\;3X^2}\\ \qquad\qquad\quad\; -9X^2 + 0X\\ \qquad\qquad\quad\; \underline{-9X^2 + 27X}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27X - 42\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27X + 81}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123 \end{matrix}$

因此，商式是$\ X^2 - 9X - 27$，余式是$\ -123$。

重要性质

通常不定义除以零这种形式。亦即当除以0 或分数的分母为0 时，该式或该数无意义。

参见

• 筹算除法
• 同余
• 余数
• 带余除法