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命名
数字	0
名称	0
小写	〇
大写	零
序数词	第零; zeroth
识别
种类	整数
性质
素因数分解	不在可约数分解的整数的范围内; （任意素数皆为其素因数）
表示方式
花码	〇
算筹
二进制	0
八进制	0(8)
十二进制	0(12)
十六进制	0(16)
	查; 论; 编;

0（〇／零）是-1与1之间的整数，也是两个奇数之间的偶数。0既不是正数也不是负数。在数论中，0不属于自然数；但在集合论和计算机科学中，0属于自然数。0在整数、实数和其他的代数结构中都有着单位元这个很重要的性质。

历史

0字体的发明始于印度。公元前2000年，印度最古老的文献《吠陀》已有特别“0”概念的应用，当时的0在印度表示无（空）的位置。约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家婆罗摩笈多首先说明了0加0是0，任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年，印度一位天文学家在訪問现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧地区，由欧洲发扬光大。

说起“0”的出现，应该指出，中国古代文字中，“零”字出现很早。不过那时它不表示“空无所有”，而只表示“零碎”、“不多”的意思。如“零头”、“零星”、“零丁”。“一百零五”的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。“105”恰恰读作“一百零五”，“零”字与“0”恰好对应，“零”也就具有了“0”的含义。0在中国古代叫做金元数字。

关于0这个数字的概念在其它地区很早就有。巴比伦人、埃及人、玛雅人以及印度人分别独立发明了“零”^[1]。公元前3000年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。古埃及早在公元前2千年就有人在记帐时用特别符号来记载零。

玛雅文明最早发明特别字体的0。玛雅数字中0 以贝壳模样的象形符号代表。 0这个字体的数字是在5世纪由古印度人发明。他们最早用黑点“.”表示零，后来逐渐变成了“0”。

7世纪初印度大数学家葛拉夫·玛格蒲达首先说明了任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。在东方国家由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，当时西方认为所有数都是可数，而0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立^[2]（如除以0），甚至认为是魔鬼数字，而被禁用^[3]；直至约公元15、16世纪，0才逐渐给西方人所认同，使西方数学有快速发展。^[4]

中国古代的筹算数码中没有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”就可以表示为“┴　╥ ”(〦〧〨)。数字中没有“零”，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与“零”的出现有关。自从前4世纪，中国数学家已经了解负数和零的概念。^[5]1世纪的《九章算术》说：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”（这段话的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是负数，零减负数的差是正数。”）以上文字里的“无入”通常被数学历史家认为是零的概念。（全文见维基文库的《九章算术》）虽然如此，但是当时并没有使用符号来表示零。

在690年时，武则天颁布了则天文字，其中一个字就是“〇”，当时的意义同“星”。现在表示零的符号“0”是该字符的变体。^[6]

七世纪的古印度婆罗摩笈多是第一个提出有关0的计算规则的数学家。瞿昙悉达于718年将印度数字〇引入中国，以此来代替算筹。^[7] ^[8]宋朝蔡沈《律率新书》中用方格表示空缺。金朝《大明历》中有“四百〇三”，“三百〇九”等数字^[9]。1247年，秦九韶在其著作数书九章中使用符号“〇”来表示零的概念。^[10]李冶《测圆海镜》第十四问中用

元

。

代表： $-480-x$ 。

10世纪波斯数学家伊本·拉班《印度算术原理》第一部分叙述用印度数字0-9（० ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹）为基础的十进位制四则运算和开平方、开立方的土盘程序。

在1202年时，意大利商人斐波纳契写了一本《算盘书》。在东方中由于数学是以算术为主（西方当时以几何和逻辑为主），由于运算上的需要，自然地引入了0这个数。

数学性质

0是否属于自然数仍有争议，数论领域认为0不属于自然数，集合论和计算机科学领域认为0属于自然数。
国际标准ISO 31-11:1992中，从集合论角度规定：符号 $\mathbb{N}$ 所表示的自然数包括正整数和0。中国国家标准GB 3102-11:93参照国际标准作出同样规定。

平方数，为0的平方。
立方数，为0的立方。
第1个普洛尼克数，为0与1的乘积。下一个为2。
第0个佩尔数。下一个为1。
第0个斐波那契数。前一个、下一个与下两个皆是1、前两个是-1。
0是个高斯整数。
0可被2整除，所以0是偶数。
分数中的分母不可以是0。
0非正非负，0的相反数和绝对值是其本身。
0乘以任何实数都等于0（0×10=0），任何实数加上0等于其本身（1+0=1）。
0没有倒数和负倒数，任何数（包括0）除以0皆无意义。
0不能做对数的底。
0的正数次方等于0，0的负数次方是无意义。
0的0次方目前是未定式，部分领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为1。也有人主张定义为1。^[11]^[12]
0! 定义为1。
0是任何数的倍数。
0作为序数一般仅出现于计算机领域。
0是斐波那契数列中，仅有的3个平方数之一（另外两个是1与144）。^[13]
0是唯一一个使得没有复数w满足e^w = z的复数z。

0的约数和倍数

当 $a \times b = c$ （ $a\,\!$ 、 $b\,\!$ 、 $c\,\!$ 为整数）时，定义 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 为 $c\,\!$ 的约数， $c\,\!$ 为 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 的倍数。

\because a \times 0 = 0

（

a\,\!

为任何实数）

\therefore a

为0的约数，0为

a\,\!

的倍数，也就是说，任何整数都是0的约数。

另外，因为0不能作为任何数的因数，所以0没有倍数。

人类文化

在计算机科学中，0经常用于表示布尔值假（F）。
在数位电路中，不使用精确的电压值来代表信号的值，只使用“0”和“1”两个值。“0”表示低于预先规定的阈值电压，被称为低电平或者逻辑0。与之对应，“1”表示高于预先规定的阈值电压，被称为高电平或者逻辑1。注意负逻辑时的规定相反，高电平为逻辑0。
在电话网络中，国家代码（国家或地区号）开始为00（两个0），其下的地方区号（郡或市等地区代码）开始为0（一个0）。
数字0的使用使数学快速发展。
0号线

参考来源

文献

柯利弗德·皮寇弗; 陈以礼（翻译）. The Math Book:From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics [数学之书]. 时报文化. 2013-04-16. ISBN 978-957-135-699-0 （繁体中文）.

引用

↑ 柯利弗德 2013，第45页
↑ Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141. ISBN 9781441183910.
↑ Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6. ISBN 9780738711485.
↑ J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor数学史文件. [2015-01-14].
↑ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
↑ 小写〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的编码是U+3007，勿与圈号（CIRCLE）混淆。
↑ Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科学出版社, 1964
↑ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 东京: 东洋书店, 1999, ISBN 4-88595-226-3
↑ 郭书春著《中国科学技术史·数学卷》394页科学出版社2010
↑ Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.
↑ 存档副本 (PDF). [2011-12-09].
↑ sci.math FAQ: What is 0^0?. [2011-12-09].
↑ JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

参见

[1] 柯利弗德 2013，第45页

[2] Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141. ISBN 9781441183910.

[3] Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6. ISBN 9780738711485.

[4] J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor数学史文件. [2015-01-14].

[5] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[6] 小写〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的编码是U+3007，勿与圈号（CIRCLE）混淆。

[7] Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科学出版社, 1964

[8] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 东京: 东洋书店, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[9] 郭书春著《中国科学技术史·数学卷》394页科学出版社2010

[10] Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.

[11] 存档副本 (PDF). [2011-12-09].

[12] sci.math FAQ: What is 0^0?. [2011-12-09].

[13] JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

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