凹函数

  此条目介绍的是英文为Concave function的函数。关于英文为Convex function的函数，请见“凸函数”。

凹函数（英语：Concave function）是指下境图为凸集的一类函数。

  注意：本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，Convex Function译为“凸函数”，Concave Function译为“凹函数”。但是，中国某些数学教材中有关函数凹凸性的定义同常见定义正好相反（例如，在中国高等院校最常用的教材——同济大学数学系主编《高等数学》教材中，Convex Function译为“凹函数”，Concave Function则译为“凸函数”，凹凸性则是指其下方图是凹集或凸集），而在中国大部分涉及经济学的图书中，凹凸性的提法同本条目的提法一致。

定义

如果一个有实值函数f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有

$f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).$

则我们称f在某区间（或者某个向量空间中的凸集）上是凹的

某函数f:R→R，在x和y之间的每一点z，在图中的点(z, f(z) )是在以点(x, f(x) )和(y, f(y) )连成的直线之上。

性质

如果一个可微函数$f$它的导数$f'$在某区间是单调递减的，$f$就是凹的：一个凹函数的斜率单调递减（当中递减只是代表非递增而不是严格递减，也代表这容许零斜率的存在。）

如果一个二次可微的函数$f$，它的二阶导数$f''(x)$是正值，那么它的图像是凸的；如果二阶导数$f''(x)$是负值，图像就会是凹的。

如果凸函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凹函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果$f(x)$是二次可微的，那么$f(x)$就是凹的当且仅当$f''(x)$是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严格凹函数，但相反而言又不一定正确，例如当$f(x) = -x^4$。 如果$f$是凹的也是可微的，那么

$f(y) \leq f(x) + f'(x)[y-x]$

一个在$\mathbb C$的连续函数是凹的当且仅当对于任意属于$\mathbb C$的x和y，有

$f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2$

例子

• 函数$f(x)=-x^2$ 和 $f(x)=\sqrt{x}$都是凹函数因为它们的二阶导数永远都是一个负值。
• 任何线性函数$f(x)=ax+b$既是凸函数也是凹函数。
• 函数$f(x)=\sin(x)$在区间$[0, \pi]$是凹的。
• 函数$\log |B|$是一个凹函数，当中$|B|$是一个非负定矩阵的行列式。

参见

• 凸函数