自然數

自然數（參考ISO 80000-2和ISO 2382中所採用的定義）指非負整數 $( 0, 1, 2, 3, 4, \ldots)$，為免歧義有時也直接以非負整數代替自然數使用。數學中，一般以$\mathbb{N}$代表以自然數組成的集合。自然數集是一個可數的，無上界的無窮集合。非零自然數即指正整數$( 1, 2, 3, 4, \ldots)$。

自然數可用於計數（如：桌子上有「三」個蘋果）和定序（如：國內「第三」大城市）。

符號

常用雙線的大寫 N 符號來表示自然數集合。

數學家們使用$N$或$\mathbb{N}$來表示所有自然數的集合。較早的教科書也有使用$J$來表示這一集合的情況。

為了消除是否包含0的歧義，有時通過上、下標的形式表示集合中是否包含0：

• 自然數：$\mathbb{N}_0 = \mathbb{N}^0 = \{0, 1, 2, \dots\}$
• 非零自然數：$\mathbb{N}^* = \mathbb{N}^+ = \mathbb{N}_1 = \mathbb{N}_{>0} = \{1, 2, \dots\}$

定義

主條目：皮亞諾公理和自然數的集合論定義

基於序數理論

基於序數理論提出的皮亞諾公理可以得到自然數的許多特性，這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

1. 0是自然數；
2. 每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a' ，a' 也是自然數；
3. 對於每個自然數b、c，b=c當且僅當b的後繼數=c的後繼數；
4. 0不是任何自然數的後繼數；
5. 任意關於自然數的命題，如果證明：它對自然數0是真的，且假定它對自然數a為真時，可以證明對a' 也真。那麼，命題對所有自然數都真。

其中，一個數的後繼數指緊接在這個數後面的數，例如，0的後繼數是1，1的後繼數是2等等；公理5保證了數學歸納法的正確性，從而被稱為歸納法原理。

基於基數理論

在基數理論中，集合論的一般做法是將0定義為空集後，將任一非零自然數看作是所有比該數小的自然數組成的集合，即

$0 = \{\}, 1 = \{0\}, 2 = \{0,1\}, 3 = \{0,1,2\}, \ldots$

通過無窮公理，可以得到存在一個只包含全體自然數的自然數集$\mathbb{N}$。

另外，在此定義下，在集合$n$內就有$n$個元素；而若$n$小於$m$，則$n$會是 $m$的子集。

性質

無限性

自然數的集合是無限集。根據定義，這種無限稱為可數無限。可以與自然數建立雙射關係的所有集合都具有這種無限性，稱作，這個集合的勢為$\aleph_0$。

可加性

自然數加法可經$a+0=a$及$a+(b+1)=(a+b)+1$遞歸定義而成。因而得出交換幺半群$(N,+)$，是由$1$生出的自由幺半群，其中幺元為$0$。此幺半群服從消去律，可嵌入一群內：最小的是整數群。

可乘性

同理，自然數乘法$\times$可經$a \times 0=0$及$a \times (b+1)=ab+a$ 得出。

加乘關係

而$(N, \times)$亦是交換幺半群；$\times$和$+$符合分配律：

$a \times (b+c)=ab+ac$。

有序性

我們說$a \le b$當且僅當有自然數$c$使得$a+c=b$。$(N, \le)$是一個良序集，即每個非空子集都有一個最小的自然數。

此序也和加法及乘法兼容，即若$a$，$b$和$c$都是自然數且$a \le b$，則$a+c \le b+c$及$ac \le bc$。

可除性

主條目：可除性

給定兩個自然數$a$和$b$，其中$b \ne 0$，可找到唯一的兩個自然數$q$及$r$使得

$a=bq+r,\ 0\le r < q$

$q$稱為「商數」而$r$稱為「餘數」。 若$r=0$，則稱$a$可被$b$整除，記為$b|a$。

相關概念有輾轉相除、質數及其它數論概念。

歷史與0的爭議

自然數由數數而起。古希臘人最早研究其抽象特性，當中畢達哥拉斯主義更視之為宇宙之基本。其它古文明也對其研究作出極大貢獻，尤其以印度對0的接受，為人稱道。

零早於公元前400年被巴比倫人用作數碼使用。瑪雅人於公元200年將零視為數字，但未與其它文明有所交流。現代的觀念由印度學者婆羅摩笈多於公元628年提出，經阿拉伯人傳至歐洲。歐洲人一開始仍對零作為數字感到抗拒，認為零不是一個「自然」數。

19世紀末，集合論者給自然數一個較嚴謹的定義。據此定義，把零（對應於空集）包括於自然數內更為方便。邏輯論者及計算機科學家，接受集合論者的定義。而其他一些數學家，主要是數論學家，則依從傳統把零拒之於自然數之外。

在全球範圍內，目前針對0是否屬於自然數的爭論依舊存在。

在中國，2000年左右之前的中小學教材一般不將0列入自然數之內，或稱其屬於「擴大的自然數列」。在2000年左右之後的新版中小學教材中，普遍將0列入自然數。

認為自然數不包含零的其中一個理由是自然數所指為自然界中存在的數，例如一棵大樹、兩條魚、十億個細胞等等，而鮮少有人說零個物品。

國際標準ISO 31-11:1992《量和單位 第十一部分：物理科學和技術中使用的數學標誌與符號》（已被ISO/IEC 80000-2取代）中，從集合論角度規定：符號 $\mathbb{N}$ 所表示的自然數集是包括正整數和0。

中國於1993年制定的強制性國家標準《物理科學和技術中使用的數學符號》(GB 3102.11-93)參照國際標準ISO 31-11規定：$\mathbb{N}$表示「非負整數集；自然數集」，$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}$。但自2017年3月23日起，該標準轉化為推薦性標準，不再強制執行。

推廣

自然數用於計數時稱之為基數，用於定序時稱之為序數。基數用於判定集合的大小，序數用作排列。

對於有限序列或有限集合，序數及基數皆與自然數同。