求和符號(英語:summation;符號:,讀作:sigma),是歐拉於1755年首先使用的一個數學符號。這個符號是源自於希臘文σογμαρω(增加)的字頭,Σ正是σ的大寫。
求和指的是將給定的數值相加的過程,又稱為加總。求和符號常用來簡化有多個數值相加的數學表達式。
假設有個數值,則這個數值的總和可表示為。
用等式來呈現的話就是。
舉例來說,若有4個數值:,則這4個數值的總和為:
求和方法
- 裂項法:利用求出。
- 錯位相減法:透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。
- 倒序求和:對於有對稱中心的函數首尾求和[1][2]
- 逐項求導:可從推導出[3]
- 阿貝爾變換:
含多項式求和公式
以下設p為多項式,
是對一個多項式求和,自然數方冪和、等冪求和、等差數列求和都屬於對多項式求和。
- 帕斯卡矩陣形式
- [4]
- 差分變換形式
- [5]
當為多項式,易求高階導數時,有封閉型和式
- [6]
-
- 有限和有封閉型和式
- 當p為常數時,是對等比數列求和,當p為一次多項式時,是對差比數列求和。
- [4]
-
- [7]
,其中為調和數或調和級數
組合數求和公式
一階求和公式
- [參 1]
- [參 2]
二階求和公式
- [參 3]
范德蒙恆等式與超幾何函數有關係:
三階求和公式
范德蒙恆等式與廣義超幾何函數有關係:
定積分判斷總和界限
當在[a,b]單調遞增時:
當在[a,b]單調遞減時:
- [8]
求和函數
以為例:
syms k n;symsum(k^9,k,1,n)
In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
Out[1]:=
參考資料
- ↑ 馬志鋼. 倒序求和几例. 中學生數學. 2006, (5).
- ↑ 郭子偉. 高中基础数列知识微型整理. 數學空間. 2011, (1): 第11頁.
- ↑ 吳煒超. 数列{n^m.k^n}的求和方法. 數學空間. 2011, (7): 第38–39頁.
- ↑ 4.0 4.1 黃嘉威. 方幂和及其推广和式. 數學學習與研究. 2016, (7).
- ↑ Károly Jordán. Calculus of Finite Differences.
- ↑ Murray Spiegel. Schaum's Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations.
- ↑ 劉治國. 一类指数型幂级数的求和. 撫州師專學報. 1994, (01): 第65–66頁.
- ↑ 吳煒超. 数列不等式的定积分解法. 數學空間. 2011, (5): 第23–26頁.