方根

在数学中，若一个数 $b$ 为数 $a$ 的 $n$ 次方根，则 $b^n=a$ 。当提及实数 $a$ 的 $n$ 次方根的时候，假定想要的是这个数的主 $n$ 次方根，那么它就可以用根号（ $\sqrt{\color{white} x}$ ）表示成 $\sqrt[n]{a}$ 。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作 $\sqrt[10]{1024}=2$ 。当 $n=2$ 时，则 $n$ 可以省略。定义实数 $a$ 的主 $n$ 次方根为 $a$ 的 $n$ 次方根，且具有与 $a$ 相同的正负号的唯一实数 $b$ 。如果 $n$ 是偶数，那么负数将没有主 $n$ 次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。

符号史

最早的根号“√”源于字母“r”的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。从而，形成了我们现在所熟悉的开方运算符号 $\sqrt{\color{white} x}$ 。

由于在计算机中的输入问题，我们有时还可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。

基本运算

带有根号的运算由如下公式给出:

{\displaystyle \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0 }

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0

{\displaystyle \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}}, }

这里的a和b是正数。

对于所有的非零复数 $a$ ，有n个不同的复数 $b$ 使得 $b^n=a$ ，所以符号 $\sqrt[n]{a}$ 不能无歧义的使用（通常这样写是取 $n$ 个值当中主幅角最小的）。n次单位根是特别重要的。

当一个数从根号形式被变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是

a^m a^n = a^{m+n}

\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}

\left(a^m\right)^n = a^{mn}

例如:

\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}

若要做加法或减法，应当注意下列概念是重要的。

\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}

若已可以简化根式表达式，则加法和减法简单的是群的“同类项”问题。

例如

\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}

=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}

=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}

=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}

不尽根数

经常简单的留着数的n次方根不解（就是留着根号）。这些未解的表达式叫做“不尽根数”（surd），它们可以接着被处理为更简单的形式或被安排相互除。

如下恒等式是操纵不尽根数的基本技术:

$\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}$

$\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}$

$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}$

无穷级数

方根可以表示为无穷级数:

{\displaystyle \begin{align} &(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\ &(|x|<1) \end{align}}

找到所有的方根

任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式 $ae^{i\varphi}$ (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为:

e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}

对于 $k=0,1,2,\ldots,n-1$ ，这里的 $\sqrt[n]{a}$ 表示 $a$ 的主 $n$ 次方根。

正实数

所有 $x^n=a$ 或 $a$ 的 $n$ 次方根，这里的 $a$ 是正实数，的复数解由如下简单等式给出:

e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}

对于 $k=0,1,2,\ldots,n-1$ ，这里的 $\sqrt[n]{a}$ 表示 $a$ 的主 $n$ 次方根。

解多项式

曾经猜想多项式的所有根可以用根号和基本运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程

\ x^5=x+1

的解不能用根号表达。

要解任何n次方程，参见根发现算法。

算法

对于正数 $A$ ，可以通过以下算法求得 $\sqrt[n]{A}$ 的值：

猜一个 $\sqrt[n]{A}$ 的近似值，将其作为初始值 $x_0$
设 $x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$ 。记误差为 $\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right]$ ，即 $x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k$ 。
重复步骤2，直至绝对误差足够小，即： $| \Delta x_k | < \epsilon$ 。