裂项和

裂项求和（Telescoping sum）是一个非正式的用语，指一种用来计算级数的技巧：每项可以分拆，令上一项和下一项的某部分互相抵消，剩下头尾的项需要计算，从而求得级数和。

$\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) = (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\ldots+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}.$

裂项积（Telescoping product）也是差不多的概念：

$\prod_{i=1}^n \frac{a_i}{a_{i+1}} = \frac{a_1}{a_{n+1}}$

可以用来裂项求和的数学式

$\frac{1}{a(a+b)}=\frac{1}{b}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}\right)$

$a^k=\frac{1}{a-1}(a^{k+1}-a^k)$

$\cos kx=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}\left[\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\frac{1}{2}\right)x\right]$

$\sin kx=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}\left[\cos\left(k-\frac{1}{2}\right)x-\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right]$（三角恒等式）

$C^n_k=C^{n-1}_k+C^{n-1}_{k-1}$（帕斯卡法则）

$\frac{1}{C^n_k}=\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C^{n+1}_k}+\frac{1}{C^{n+1}_{k+1}}\right)$

求和类型

一般求和

若有$a_k=b_k-b_{k+1}$，则$\sum_{k=m}^n a_k=b_m-b_{n+1}$

$\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n \cdot (n+1)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}$

交错求和

若有$a_k=b_k+b_{k+1}$，则$\sum_{k=m}^n (-1)^k a_k=(-1)^m b_m+(-1)^{n+1} b_{n+1}$

$\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{C_{2n}^k}=\frac{2n+1}{2n+2}\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} \left(\frac{1}{C_{2n+1}^k}+\frac{1}{C_{2n+1}^{k+1}}\right)=\frac{2n+1}{2n+2} \left[\frac{1}{C_{2n+1}^1}+\frac{(-1)^{2n-1}}{C_{2n+1}^{2n+1}}\right]=\frac{2n+1}{2n+2}\left(\frac{-2n}{2n+1}\right)=\frac{-n}{n+1}$

误用

$0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty (1-1) = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1 + 1) = 1\,$

这是错误的。将每项重组的方法只适用于独立的项趋近0。

防止这种错误，可以先求首N项的值，然后取N趋近无限的值。

$\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\,$

$= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right)\,$

$= 1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(-\frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} \,$

$= 1 - \frac{1}{N+1}\to 1\ \mathrm{as}\ N\to\infty.\,$

例子：三角函数

$\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left[2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right]$

$=\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left[\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right]$

$=\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left[\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right]$

外部链接

• https://web.archive.org/web/20060902104046/http://www.math.wisc.edu/~rhoades/Notes/buFall2005putnam.pdf