范德蒙恒等式(英文:Vandermonde's Identity)是一个有关组合数的求和公式。
甲班有 m {\displaystyle m} 个同学,乙班有 n {\displaystyle n} 个同学,从两个班中选出 k {\displaystyle k} 个同学有 ( n + m k ) {\displaystyle \binom {n+m}k} 种方法。
从甲班选 k − i {\displaystyle k-i} 名,从乙班选 i {\displaystyle i} 名有 ( n i ) ( m k − i ) {\displaystyle \binom ni \binom m{k-i}} 种方法,考虑所有情况 i = 0 , 1 , … , k {\displaystyle i=0,1,\ldots,k} ,从两个班中合计 k {\displaystyle k} 选出个同学有 ∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) {\displaystyle \sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}} 种方法。
所以 ( n + m k ) = ∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) {\displaystyle \binom {n+m}k = \sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}} [1]
注意到
等号左边化简成
等号右边则根据定义
比较 x k {\displaystyle x^k} 系数,可得
∑ k i j ( n 1 k 11 , k 12 , … , k 1 t ) … ( n s k s 1 , k s 2 , … , k s t ) = ( n 1 + n 2 + ⋯ + n s r 1 , r 2 , … , r t ) {\displaystyle \sum_{k_{ij}} {n_1 \choose k_{11}, k_{12}, \dots, k_{1t}}\dots {n_s \choose k_{s1}, k_{s2}, \dots, k_{st}}={n_1+n_2+\dots+n_s \choose r_1, r_2, \dots, r_t}}
其中 ( n n 1 , n 2 , … , n m ) = n ! n 1 ! n 2 ! … n m ! , k 1 l + k 2 l + ⋯ + k s l = r l , l = 1 , … , t {\displaystyle {n \choose n_1, n_2, \dots, n_m}=\frac{n!}{n_1!n_2!\dots n_m!},k_{1l}+k_{2l}+\dots+k_{sl}=r_l,l=1,\dots,t} [2]
展开 ( x 1 + x 2 + ⋯ + x t ) n 1 + n 2 + ⋯ + n s = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x t ) n 1 … ( x 1 + x 2 + ⋯ + x t ) n s {\displaystyle (x_1+x_2+\dots+x_t)^{n_1+n_2+\dots+n_s}=(x_1+x_2+\dots+x_t)^{n_1}\dots (x_1+x_2+\dots+x_t)^{n_s}} 可得以上结论。
范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。
2 F 1 ( a , b ; c ; 1 ) = ∑ n = 0 ∞ a ( n ) b ( n ) c ( n ) n ! = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) , ℜ ( c ) > ℜ ( a + b ) {\displaystyle {}_2F_1(a,b;c;1)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)} b^{(n)}}{c^{(n)}n!}=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)},\quad \Re(c)>\Re(a+b)} [3]
∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) = m ! k ! ( m − k ) ! ∑ i = 0 ∞ ( − n ) ( i ) ( − k ) ( i ) ( m − k + 1 ) ( i ) i ! = m ! k ! ( m − k ) ! 2 F 1 ( − n , − k ; m − k + 1 ; 1 ) {\displaystyle \sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\frac{m!}{k!(m-k)!}\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-n)^{(i)}(-k)^{(i)}}{(m-k+1)^{(i)}i!}=\frac{m!}{k!(m-k)!}{}_2F_1(-n,-k;m-k+1;1)}
= m ! k ! ( m − k ) ! Γ ( m − k + 1 ) Γ ( n + m + 1 ) Γ ( n + m − k + 1 ) Γ ( m + 1 ) = ( n + m ) ! k ! ( n + m − k ) ! = ( n + m k ) {\displaystyle =\frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{\Gamma(m-k+1)\Gamma(n+m+1)}{\Gamma(n+m-k+1)\Gamma(m+1)}=\frac{(n+m)!}{k!(n+m-k)!}=\binom {n+m}k}