幂

  提示：此条目的主题不是杨幂。

  此条目的主题是代数概念。关于几何定理，请见“圆幂定理”。

幂运算（英语：Exponentiation），又称指数运算，是数学运算，表达式为$b^n$，读作“$b$的$n$次方”或“$b$的$n$次幂”。其中，$b$称为底数，而$n$称为指数，通常指数写成上标，放在底数的右边。当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件中，$b^n$通常写成b^n或b**n；也可视为超运算，记为b[3]n；亦可以用高德纳箭号表示法，写成b↑n。

若n为正整数，可以把$b^n$看作乘方的结果，等同于$b$自乘$n$次。

$b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n$

当指数为1时，通常不写出来，因为运算出的值和底数的数值一样；指数为2时，可以读作“$b$的平方”；指数为 3 时，可以读作“$b$的立方”。

起始值1（乘法的单位元）乘上底数（$b$）自乘指数（$n$）这么多次。这样定义了后，很易想到如何一般化指数 0 和负数的情况：除 0 外所有数的零次方都是 1 ；指数是负数时就等于重复除以底数（或底数的倒数自乘指数这么多次），即：

$b^{0} = 1 \qquad$

$b^{-n} = {1 \over \underbrace{b\times\cdots\times b}_n} = \frac{1}{b^n} = \left(\frac{1}{b}\right)^{n} \qquad (b \ne 0)$。

以分数为指数的幂定义为$b^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{b^{m}}$，即$b$的$m$次方再开$n$次方根

0的0次方目前没有数学家给予正式的定义。在部分数学领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为 1 ，也有人主张定义为 1 。

因为在十进制，十的次方很易计算，只需在后面加零即可，所以科学记数法借此简化记录的数字；二的幂在计算机科学相当重要。

当n是复数及b是正实数时,

$b^n = \exp(n \ln(b))$

exp是指数函数而 ln是自然对数。

重要的恒等式

运算法则

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

$a^m \times a^n = a^{m + n}$

• 同底数幂相除，底数不变，指数相减：

$a^m \div a^n = a^{m - n}$

• 同指数幂相除，指数不变，底数相除：

$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

其他等式

• $x^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{x^m}$
• $x^{-m} = \frac{1}{x^m} \qquad (x \ne 0)$
• $x^0 = 1 \qquad (x \ne 0)$
• $x^1 = x\,\!$
• $x^{-1} = \frac{1}{x} \qquad (x \ne 0)$

运算律

加法和乘法存在交换律，比如：$2+3=5=3+2$，$2 \times 3 =6 =3 \times 2$，但是幂的运算不存在交换律，$2^3 = 8$，但是$3^2 = 9$。

同样，加法和乘法存在结合律，比如：$(2+3)+4=9=2+(3+4)$，$(2 \times 3) \times 4=24=2 \times (3 \times 4)$。不过，幂运算没有结合律：$(2^3)^4 = 8^4 = 4096$，而$2^{(3^4)} = 2^{81} = 2,417,851,639,229,258,349,412,352$，所以$(2^3)^4\neq 2^{(3^4)}$。

但是幂运算仍然有其运算律，称为指数律：

• $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• $a^m \div a^n = a^{m-n}$
• $(a^m)^n = a^{m \times n}$
• $\sqrt[n]{a^m} = a^{m \div n}$
• $a^n \times b^n = (a \times b)^n$
• $a^n \div b^n = (a \div b)^n$

整数指数幂

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

正整数指数幂

表达式$a^2 = a\cdot a$被称作$a$的平方，因为边长为$a$的正方形面积是$a^2$。

表达式$a^3 = a\cdot a\cdot a$被称作$a$的立方，因为边长为$a$的正方体体积是$a^3$。

所以$3^2$读作“3的平方”，$2^3$读作“2的立方”。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如$3^5 = 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = 243$，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。

或者，整数指数幂可以递归地定义成：

$a^n= \begin{cases} 1 & (n= 0) \\ a \cdot a^{n-1} & (n> 0) \\ \left(\frac{1}{a}\right)^{-n} & (n< 0) \end{cases}$

指数是1或者0

注意$3^1$表示仅仅1个3的乘积，就等于3。

注意$3^5 = 3\times 3^4$，$3^4 = 3\times 3^3$，$3^3 = 3\times 3^2$，$3^2=3\times 3^1$，

继续，得到$3^1 = 3\times 3^0 = 3$，所以$3^0 = 1$

另一个得到此结论的方法是：通过运算法则$\frac{x^n}{x^m} = x^{n - m}$

当$m=n$时，$1 = \frac{x^n}{x^n} = x^{n - n} = x^0$

• 任何数的1次方是它本身。

零的零次方 $0^0$

主条目：零的零次方

$0^0$ 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是$0^0 = 1$ ，在程式语言中（python） $0**0 = 1$

在这里给出这一种极限的看法

$\lim _{x \to 0^+} x ^ x= 0^0$ 于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图

负数指数

我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。

$a^{-1} = \frac{1}{a}$

对于非零$a$定义

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$,

而$a=0$时分母为 0 没有意义。

证法一：

根据定义$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$，当$m=-n$时

$a^{-n} \, a^{n} = a^{-n\,+\,n} = a^0 = 1,$

得$a^{-n} \, a^{n} = 1$, 所以$a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$。

证法二：

通过运算法则$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$

当$m=0$时，可得$a^{-n} = a^{0-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^{n}}$

负数指数$a^{-n}$还可以表示成1连续除以$n$个$a$。比如：

$3^{-4} = \frac{\frac{\frac{\frac{1}{3}}{3}}{3}}{3} = \frac{1}{81} = \frac{1}{3^{4}}$.

特殊数的幂

10的幂

主条目：科学计数法

在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：$10^3 = 1000,\ 10^{-3} = 0.001$

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 $2.99792458\times 10^8$，近似值 $2.998\times 10^8$ 或 $3\times 10^8$.

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 $10^3$，词头“毫”就是 $10^{-3}$

2的幂

主条目：2的幂

1的幂

1的任何次幂都为1

0的幂

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是悬而未决的，某些领域下常用的惯例是约定为1。但某些教科书表示0的0次方为无意义。也有人主张定义为1。

负1的幂

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

指数非常大时的幂

一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

当$a > 1$，$n \to \infty$，$a^n \to \infty$

当$a < -1$，$n \to \infty$，$a^n \to -\infty$ 或 $\infty$ , (视乎n 是奇数或偶数)

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

当$|a| < 1$，$n \to \infty$，$a^n \to 0$

1的幂永远都是1

当$a = 1$，$n \to \infty$，$a^n \to 1$

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：

当$n \to \infty, \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

正实数的实数幂

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

• 有理数幂可以通过N次方根定义，任何非0实数次幂都可以这样定义
• 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

N次方根

从上到下：$x^{\frac{1}{8}},\ x^{\frac{1}{4}},\ x^{\frac{1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}$

主条目：方根

一个数$a$的$n$次方根是$x$，$x$使$x^n=a$。

如果$a$是一个正实数，$n$是正整数，那么方程$x^n=a$只有一个正实数根。 这个根被称为$a$的$n$次方根，记作：$\sqrt[n]{a}$，其中$\sqrt{\ }$叫做根号。或者，$a$的$n$次方根也可以写成$a^{\frac{1}{n}}$. 例如$4^{\frac{1}{2}} = 2,\ 8^{\frac{1}{3}} = 2$

当指数是$\frac{1}{2}$时根号上的2可以省略，如：$\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}= \sqrt[2]{4} = 2$

有理数幂

有理数指数幂定义为

$a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

e的幂

主条目：指数函数

这个重要的数学常数e，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的：

$e =\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n$

指数函数的定义是：

$e^x =\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n} \right)^n$

可以很简单地证明e的正整数k次方$e^k$是：

$e^k = \left[\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right]^k$

$= \lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right]^k$

$= \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k}$

$= \lim_{n \cdot k \to \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k}$

$= \lim_{m \to \infty} \left(1+\frac k m \right)^m$

实数指数幂

y = b^x对各种底数b的图像，分别为绿色的10、红色的e、蓝色的2和青色的1/2。

因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成：

$b^x = \lim_{r \to x} b^r,$

例如：

$x \approx 1.732$

于是

$5^x \approx 5^{1.732} =5^{\frac{433}{250}}=\sqrt[250]{5^{433}} \approx 16.241$

实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。

自然对数$\ln{x}$是指数函数$e^x$的反函数。 它的定义是：对于任意$b>0$，满足

$b = e^{\ln b}$

根据对数和指数运算的规则：

$b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}$

这就是实数指数幂的定义：

$b^x = e^{x\cdot\ln b}\,$

实数指数幂$b^x$的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

负实数的实数幂

如果$a$是负数且$n$是偶数，那么$x = a^n$是正数。如果$a$是负数且$n$是奇数，那么$x = a^n$是负数。

使用对数和有理数指数都不能将$a^k$（其中$a$是负实数，$k$实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于$a^\frac{m}{n}$（$n$是奇数）可以使用$n$次方根来计算，但是因为没有实数$x$使$x^2 = -1$，对于$a^\frac{m}{n}$（$n$是偶数）时必须使用虚数单位$i$。

使用对数的方法不能定义$a\leq 0$时的$a^k$为实数。实际上，$e^x$对于任何实数$x$都是正的，所以$\ln(a)$对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数$a$因为它依赖于连续性。函数$f(r) = a^r$对于任何正的有理数$a$是连续的，但是对于负数$a$，函数$f$在有些有理数$r$上甚至不是连续的。

例如：当$a=-1$，它的奇数次根等于-1。所以如果$n$是正奇数整数，$-1^{\frac m n}=-1$当$m$是奇数，$-1^{\frac m n}=1$当$m$是偶数。虽然有理数$q$使$-1^q=1$的集合是稠密集，但是有理数$q$使$-1^q=-1$的集合也是。所以函数$-1^q$在有理数域不是连续的。

因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成复数，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。

正实数的复数幂

e的虚数次幂

主条目：指数函数

指数函数e^z可以通过(1 + z/N)^N当N趋于无穷大时的极限来定义，那么e^iπ就是(1 + iπ/N)^N的极限。在这个动画中n从1取到100。(1 + iπ/N)^N的值通过N重复增加在复数平面上展示，最终结果就是(1 + iπ/N)^N的准确值。可以看出，随着N的增大，(1 + iπ/N)^N逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式。

复数运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解$e^{ix}$（$x$是实数），即纯虚数指数函数。想象一个直角三角形$(0,1,1+\frac{ix}{n})$（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的$n$，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于$\frac{x}{n}$弧度。对于所有$k$，三角形$(0,(1+\frac{ix}{n})^k, (1+\frac{ix}{n})^{k+1})$互为相似三角形。所以当$n$足够大时$(1+\frac{ix}{n})^n$的极限是复数平面上的单位圆上$x$弧度的点。这个点的极坐标是$(r,\theta)=(1,x)$，直角坐标是$(\cos x,\sin x)$。所以$e^{ix} = \cos x + i \sin x$，而这个函数可以称为纯虚数指数函数。这就是欧拉公式，它通过复数的意义将代数学和三角学联系起来了。

等式$e^z = 1$的解是一个整数乘以$2i\pi$：

$\{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.$

更一般地，如果$e^b = a$，那么$e^z = a$的每一个解都可以通过将$2i\pi$的整数倍加上$b$得到：

$\{ z : e^z = a \} = \{ b + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.$

这个复指数函数是一个有周期$2i\pi$的周期函数。

更简单的：$e^{i\pi} = -1;\ e^{x + iy}= e^x(\cos y + i \sin y )$。

三角函数

主条目：欧拉公式

根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是：

$\cos z = \frac{ e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}} {2} \qquad \sin z = \frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}$

历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

$e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,$

使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

e的复数指数幂

$e^{x+iy}$可以分解成$e^x\cdot e^{iy}$。其中$e^x$是$e^{x+iy}$的模，$e^{iy}$决定了$e^{x+iy}$的方向

正实数的复数幂

如果$a$是一个正实数，$z$是任何复数，$a^z$定义成$e^{z\cdot \ln(a)}$，其中$x=\ln (a)$是方程$e^x = a$的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如：

$2^i = e^{i\cdot \ln(2)} = \cos{\ln 2}+i\cdot \sin{\ln 2 } = 0.7692+0.63896i$

$e^i = 0.54030+0.84147i$

$10^i = -0.66820+0.74398i$

$(e^{2\pi})^i = 535.49^i = 1$

复数的复数幂

复数的虚数幂

让我们从一个简单的例子开始：计算$\left( 1+i \right)^i$。

$\begin{align} \left( 1+i \right)^i & = \left[\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)\right]^i \\ & = \left(\sqrt{2}e^{\tfrac{\pi}{4}i}\right)^i \\ & = e^{-\tfrac{\pi}{4}}\sqrt{2}^i \\ & = e^{-\tfrac{\pi}{4}}\cos\frac{\ln 2}{2} + ie^{-\tfrac{\pi}{4}}\sin\frac{\ln 2}{2} \\ \end{align}$

其中$\sqrt{2}^i$的得法参见上文正实数的复数幂

复数的复数幂

类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算$\left( 1+i \right)^{2+i}$：

$\begin{align} \left( 1+i \right)^{2+i} & = \left( 1+i \right)^2 \left( 1+i \right)^i \\ & = 2ie^{-\tfrac{\pi}{4}}\left(\cos\frac{\ln 2}{2} + i\sin\frac{\ln 2}{2}\right) \\ & = -2e^{-\tfrac{\pi}{4}}\sin\frac{\ln 2}{2} + 2ie^{-\tfrac{\pi}{4}}\cos\frac{\ln 2}{2} \\ \end{align}$

一般情况

复数的复数幂必须首先化为底数为$e$的形式：

$w^z = e^{z \ln w}$

又，由复数的极坐标表示法：

$w = r e^{i\theta}$

故

$w^z = e^{z \ln(w)} = e^{z(\ln(r) + i\theta)}$。

然后，使用欧拉公式处理即可。

由于复数的极坐标表示法中，辐角$\theta$的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。

在函数中

当函数名后有上标的数（即函数的指数），一般指要重复它的运算。例如$f^3 (x )$即$f ( f ( f ( x ) ) )$。特别地，$f^{-1} (x )$指$f (x )$的反函数。

但三角函数的情况有所不同，一个正指数应用于函数的名字时，指答案要进行乘方运算，而指数为-1时则表示其反函数。例如：$(\sin x)^{-1}$表示$\csc x$。因此在三角函数时，使用$\sin^{-1} x$来表示$\sin x$的反函数$\arcsin x$。

计算自然数（正整数）$n$的$a^n$的算法

最快的方式计算$a^n$，当$n$是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

伪代码：

   1. 1 → y, n → k, a → f
   2.若k不为0,执行3至6
     3.若k为奇数, y * f → y
     4. k [[位操作#移位|右移]]1位（即k / 2 → k ,小数点无条件舍去）
     5. f * f → f
     6.回到2
   7.传回y

在C/C++语言中，你可以写如下算法：

double power(double a, unsigned int n)
{
    double y = 1;
    double f = a;
    while (n > 0) {
       if (n % 2 == 1) y *= f;
       n >>= 1;
       f *= f;
    }
    return y;
}

此算法的时间复杂度为$\Omicron(\log n)\!$，比普通算法快（a自乘100次，时间复杂度为$\Omicron(n)\!$），在$n$较大的时候更为显著。

例如计算$a^{100}$，普通算法需要算100次，上述算法则只需要算7次。若要计算$a^{n} (n < 0)$可先以上述算法计算$a^{|n|}$，再作倒数。

另见

• 迭代幂次

外部链接

• 指数的历史