李善兰恒等式为组合数学中的一个恒等式，由中国清朝数学家李善兰于1859年在《垛积比类》一书中首次提出，因此得名。
有幂级数[1]和概率[2]两种证明方法。
( n + k k ) 2 = ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k − j 2 k ) {\displaystyle {\binom {n+k}k}^2=\sum_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}}
其中 ( k l ) = k ! l ! ( k − l ) ! {\displaystyle {\binom {k}l}=\frac{k!}{l!(k-l)!}}
李善兰恒等式是Saalschütz's theorem的一个整数特例。
3 F 2 ( a , b , − n ; c , 1 + a + b − c − n ; 1 ) = ( c − a ) n ( c − b ) n ( c ) n ( c − a − b ) n . {\displaystyle {}_3F_2 (a,b, -n;c, 1+a+b-c-n;1)= \frac{(c-a)_n(c-b)_n}{(c)_n(c-a-b)_n}.} [3] [4]
∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k − j 2 k ) = ( n + 2 k ) ! ( 2 k ) ! n ! ∑ j = 0 ∞ ( − k ) ( j ) ( − k ) ( j ) ( − n ) ( j ) ( 1 ) ( j ) ( − n − 2 k ) ( j ) j ! = ( n + 2 k ) ! ( 2 k ) ! n ! 3 F 2 ( − k , − k , − n ; 1 , − n − 2 k ; 1 ) {\displaystyle \sum_{j=0}^k \binom{k}{j}^2\binom{n+2k-j}{2k} =\frac{(n+2k)!}{(2k)!n!}\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-k)^{(j)}(-k)^{(j)}(-n)^{(j)}}{(1)^{(j)}(-n-2k)^{(j)}j!} =\frac{(n+2k)!}{(2k)!n!}{}_3F_2 (-k,-k,-n;1,-n-2k;1)}
= ( n + 2 k ) ! ( 1 + k ) n ( 1 + k ) n ( 2 k ) ! n ! ( 1 ) n ( 1 + 2 k ) n = ( n + 2 k ) ! ( n + k ) ! ( n + k ) ! ( 2 k ) ! ( 2 k ) ! n ! k ! k ! n ! ( n + 2 k ) ! = ( n + k k ) 2 {\displaystyle =\frac{(n+2k)!(1+k)_n(1+k)_n}{(2k)!n!(1)_n(1+2k)_n} =\frac{(n+2k)!(n+k)!(n+k)!(2k)!}{(2k)!n!k!k!n!(n+2k)!}=\binom{n+k}{k}^2}
[3]
[4]
