等差数列

等差数列，又名算术数列（英文：arithmetic sequence 或 arithmetic progression），是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（common difference）。

例如数列：

3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都等于 2。

性质

如果一个等差数列的首项记作 a，公差记作 d，那么该等差数列第 n 项 a_n 的一般项为：

$a_n=a+(n-1)d$

换句话说，任意一个等差数列 {a_n} 都可以写成

$\{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots\,,\,\,a+(n-1)d\}$

在一个等差数列中，给定任意两相连项 a_n+1 和 a_n ，可知公差

$d=a_{n+1}-a_n$

给定任意两项 a_m 和 a_n ，则有公差

$d=\frac{a_m-a_n}{m-n}$

此外，在一个等差数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之和，为原来该项的两倍。举例来说，a₁ + a₃ = 2a₂。

更一般地说，有：

$a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$

证明如下：

$\begin{align} a_{n-1}+a_{n+1} & = [a+(n-2)d]+(a+nd) \\ & = 2a+(2n-2)d \\ & = 2[a+(n-1)d] \\ & = 2a_n \\ \end{align}$

证毕。 从另一个角度看，等差数列中的任意一项，是其前一项和后一项的算术平均：

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

此结果从上面直接可得。 如果有正整数 m, n, p, q，使得 $m+n=p+q$，那么则有：

$a_m+a_n=a_p+a_q$

证明如下：

$\begin{align} a_m+a_n &=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d] \\ &=2a+(m+n-2)d \\ &=2a+(p+q-2)d \\ &=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d] \\ &=a_p+a_q \\ \end{align}$

由此可将上面的性质一般化成：

$a_{n-k}+a_{n+k}=2a_n$

$a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}$

其中 k 是一个小于 n 的正整数。 给定一个等差数列 $\{a_n\}$，则有：

• $\{b+a_n\}$ 是一个等差数列。
• $\{b\cdot a_n\}$ 是一个等差数列。
• $\{b^{a_n}\}$ 是一个等比数列。
• $\{\frac{b}{a_n}\}$ 是一个等谐数列。

从等差数列的一般项可知，任意一个可以写成

$a_n=p+qn$

形成的数列，都是一个等差数列，其中公差 d = q，首项 a = p + q。

等差数列和

一个等差数列的首 n 项之和，称为等差数列和（sum of arithmetic sequence）或算术级数（arithmetic series），记作 S_n。

举例来说，等差数列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。 等差数列求和的公式如下：

$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}\,(a+a_n) \\ & = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d] \\ & = an+d\cdot\frac{n(n-1)}{2} \end{align}$

等差数列和在中文教科书中常表达为:

一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。

公式证明如下：

将等差数列和写作以下两种形式：

$S_n=a+(a+d)+(a+2d)+\dots+[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]$

$S_n=[a_n-(n-1)d]+[a_n-(n-2)d]+\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n$

将两公式相加来消掉公差 d，可得

$\ 2S_n=n(a+a_n)$

整理可得第一种形式。

代入 $a_n=a+(n-1)d$，可得第二种及第三种形式。 从上面的第三种形式展开可见，任意一个可以写成

$S_n=pn+qn^2$

形成的数列和，其原来数列都是一个等差数列，其中公差 d = 2q，首项 a = p + q。

等差数列的一些其他性质

如果$m+n=p+q$，那么对于等差数列{$a_n$}，则有：

$a_m+a_n=a_p+a_q$

当m≠n时，有

$S_{m+n}=\frac{(S_m-S_n)(m+n)}{m-n}$

证明如下：

$S_{m+n}=a(m+n)+\frac{(m+n)(m+n-1)d}{2}$

$\frac{S_{m+n}(m-n)}{m+n}=a(m-n)+\frac{(m^2-n^2-m+n)d}{2}$

$\frac{S_{m+n}(m-n)}{m+n}=am+\frac{m(m-1)d}{2}-an-\frac{n(n-1)d}{2}=S_{m}-S_{n}$

$S_{m+n}=\frac{(S_m-S_n)(m+n)}{m-n}$

等差数列积

一个等差数列的首 n 项之积，称为等差数列积（product of arithmetic sequence），记作 P_n。

举例来说，等差数列 {1, 3, 5, 7} 的积是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。 等差数列积的公式较为复杂，须以Γ函数表示：

$P_n =d^n\cdot\frac{\Gamma(\frac{a}{d}+n)}{\Gamma(\frac{a}{d})}$

证明如下：

$\begin{align} P_n&=a\cdot(a+d)\cdot(a+2d)\cdot\cdots\cdot[a+(n-1)d] \\ &=d^n\cdot\left(\frac{a}{d}\right)\cdot\left(\frac{a}{d}+1\right)\cdot\left(\frac{a}{d}+2\right)\cdot\cdots\cdot\left[\frac{a}{d}+(n-1)\right] \\ &= d^n \cdot{\left(\frac{a}{d}\right)}^{\overline{n}} \\ &=d^n\cdot\frac{\Gamma(\frac{a}{d}+n)}{\Gamma(\frac{a}{d})} \\ \end{align}$

这里的 $x^{\overline{n}}$ 为 x 的 n 次上升阶乘幂，例子如 $1.1^{\overline{3}}=1.1\times 2.1\times 3.1$ 。 使用上面的例子，对于数列 {1, 3, 5, 7} ：

$\begin{align} P_4&=2^4\cdot\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+4)}{\Gamma(\frac{1}{2})} \\ &=16\cdot\frac{11.6317\dots}{1.77245\dots} \\ &=105 \end{align}$

结果相等。

参见

• 序列
• 数列
• 级数
• 算术级数
• 算术平均
• 等比数列
• 等谐数列

参考文献

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html .