求和符号(英语:summation;符号:,读作:sigma),是欧拉于1755年首先使用的一个数学符号。这个符号是源自于希腊文σογμαρω(增加)的字头,Σ正是σ的大写。
求和指的是将给定的数值相加的过程,又称为加总。求和符号常用来简化有多个数值相加的数学表达式。
假设有个数值,则这个数值的总和可表示为。
用等式来呈现的话就是。
举例来说,若有4个数值:,则这4个数值的总和为:
求和方法
- 裂项法:利用求出。
- 错位相减法:透过两个求和式的相减化简求和数列的求和方法。
- 倒序求和:对于有对称中心的函数首尾求和[1][2]
- 逐项求导:可从推导出[3]
- 阿贝尔变换:
含多项式求和公式
以下设p为多项式,
是对一个多项式求和,自然数方幂和、等幂求和、等差数列求和都属于对多项式求和。
- 帕斯卡矩阵形式
- [4]
- 差分变换形式
- [5]
当为多项式,易求高阶导数时,有封闭型和式
- [6]
-
- 有限和有封闭型和式
- 当p为常数时,是对等比数列求和,当p为一次多项式时,是对差比数列求和。
- [4]
-
- [7]
,其中为调和数或调和级数
组合数求和公式
一阶求和公式
- [参 1]
- [参 2]
二阶求和公式
- [参 3]
范德蒙恒等式与超几何函数有关系:
三阶求和公式
范德蒙恒等式与广义超几何函数有关系:
定积分判断总和界限
当在[a,b]单调递增时:
当在[a,b]单调递减时:
- [8]
求和函数
以为例:
syms k n;symsum(k^9,k,1,n)
In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
Out[1]:=
参考资料
- ↑ 马志钢. 倒序求和几例. 中学生数学. 2006, (5).
- ↑ 郭子伟. 高中基础数列知识微型整理. 数学空间. 2011, (1): 第11页.
- ↑ 吴炜超. 数列{n^m.k^n}的求和方法. 数学空间. 2011, (7): 第38–39页.
- ↑ 4.0 4.1 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7).
- ↑ Károly Jordán. Calculus of Finite Differences.
- ↑ Murray Spiegel. Schaum's Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations.
- ↑ 刘治国. 一类指数型幂级数的求和. 抚州师专学报. 1994, (01): 第65–66页.
- ↑ 吴炜超. 数列不等式的定积分解法. 数学空间. 2011, (5): 第23–26页.