正切

正切

性質
奇偶性	奇
定義域	{x\|x≠kπ+π/2，k∈Z}
到達域	(-∞,∞)
周期	π
特定值
當x=0	0
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	∞
最小值	-∞
其他性質
漸近線	x = (2k + 1)π/2
根	kπ
不動點	0
k是一個整數。

正切（Tangent， $\tan$ ，東歐國家將其寫作tg）是三角函數的一種。它的值域是整個實數集，定義域落在 $\{ x|x\neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k\in Z \}$ 。它是周期函數，其最小正周期為 $\pi$ 。正切函數是奇函數。

符號說明

正切的符號為 $\tan$ ，源於英文tangent。該符號最早由數學家T.芬克（Thomas Fincke）所採用。

定義

直角三角形中

直角三角形，∠C為直角，∠A 的角度為 $\theta$ ，對於 ∠A 而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一個銳角的正切定義為它的對邊與鄰邊的比值，也就是：

\tan \theta = \frac {\text{a}}{\text{b}} = \frac {\sin \theta}{\cos \theta}\,\!

可以發現其定義和餘切函數互為倒數。

直角坐標系中

設 $\alpha$ 是平面直角坐標系xOy中的一個象限角， $P\left( {x,y} \right)$ 是角的終邊上一點， $r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$ 是P到原點O的距離，則α的正切定義為：

\tan \alpha = \frac{y}{x}

單位圓定義

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角θ，並與單位圓相交，並令這個交點為y。另原點為O。做一直線，y點，垂直於 $\overline{Oy}$ ，並與單位圓相切，令直線與x軸的交點，則此點與y點之距離為正切比值。

單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於1查看無限數目的三角形的一種方式。

對於大於 $2\pi$ 或小於 $-2\pi$ 的角度，簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，有些三角函數變成了周期為 $2\pi$ 的周期函數；但由於正切是切線，再繞單位圓旋轉時，會出現周期是 $\pi$ ，所以正切是周期為π的周期函數：

\tan\theta = \tan\left(\theta + \pi k \right)

對於任何角度 $\theta$ 和任何整數 $k$ 。

級數定義

正切函數也可以使用泰勒展開式定義

\tan x = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+\frac{17 x^7}{315}+\frac{62 x^9}{2835}+...=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}

其中 $B_{2n}$ 為伯努利數。

微分方程定義

$\tan$ 的微分是 $\sec$ 的平方

\frac{d}{dx}\tan x\ = \sec^2 x

另外

\int \tan x  \, dx = -\ln (\cos x)

所以可以用

\tan x = (-\ln (\cos x))' \,

來定義。

指數定義

$\tan \theta = \frac{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}}{{\mathrm{i}}(e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta})} \,$

恆等式

用其它三角函數來表示正切

函數	sin	cos	tan	cot	sec	csc
$\tan \theta$	$\frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta\$	$\frac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$

角的和差

$\tan(\theta\pm\psi)=\frac{\tan\theta\pm\tan\psi}{1\mp\tan\theta\tan\psi}$

正切的有限多項和

設 $x_i=\tan (\theta_i)$ ，對於 $i=1,\ldots,n$ 。設 $e_k$ 是變量 $x_i$ ， $i=1,\ldots,n$ ， $k=0,\ldots,n$ 的 $k$ 次基本對稱多項式。則

\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},

項的數目依賴於 $n$ 。例如，

{\displaystyle \begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\ \\ \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\ \\ &{}= \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)},\end{align} }

並以此類推。一般情況可通過數學歸納法證明。

半角公式

$\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ &= \frac{\cos \theta+\sin \theta-1}{\cos \theta-\sin \theta+1} \end{align}$

二倍角

${\displaystyle \begin{align}\tan 2\theta &= \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\\ & = \frac{1}{1-\tan\theta}-\frac{1}{1+\tan\theta}\\ \end{align}}$