诱导公式 是数学 三角函数 中将角度 比较大的三角函数利用角度 的周期 性,转换为角度比较小的三角函数 的变形公式。诱导公式分为以下六类:
公式一(函数关于2π的周期性)
sin
(
2
k
π
+
α
)
=
sin
α
,
k
∈
Z
{\displaystyle \sin (2k\pi +\alpha )=\sin \alpha,k\in \mathbb{Z}}
cos
(
2
k
π
+
α
)
=
cos
α
,
k
∈
Z
{\displaystyle \cos (2k\pi +\alpha )=\cos \alpha,k\in \mathbb{Z}}
tan
(
2
k
π
+
α
)
=
tan
α
,
k
∈
Z
{\displaystyle \tan (2k\pi +\alpha )=\tan \alpha,k\in \mathbb{Z}}
cot
(
2
k
π
+
α
)
=
cot
α
,
k
∈
Z
{\displaystyle \cot (2k\pi +\alpha )=\cot \alpha,k\in \mathbb{Z}}
sec
(
2
k
π
+
α
)
=
sec
α
,
k
∈
Z
{\displaystyle \sec (2k\pi +\alpha )=\sec \alpha,k\in \mathbb{Z}}
csc
(
2
k
π
+
α
)
=
csc
α
,
k
∈
Z
{\displaystyle \csc (2k\pi +\alpha )=\csc \alpha,k\in \mathbb{Z}}
公式二(函数关于π的周期性)
sin
(
π
+
α
)
=
−
sin
α
{\displaystyle \sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha}
cos
(
π
+
α
)
=
−
cos
α
{\displaystyle \cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha}
tan
(
π
+
α
)
=
tan
α
{\displaystyle \tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha}
cot
(
π
+
α
)
=
cot
α
{\displaystyle \cot (\pi +\alpha )=\cot \alpha}
sec
(
π
+
α
)
=
−
sec
α
{\displaystyle \sec (\pi +\alpha )=-\sec \alpha}
csc
(
π
+
α
)
=
−
csc
α
{\displaystyle \csc (\pi +\alpha )=-\csc \alpha}
公式三(函数的奇偶性 )
sin
(
−
α
)
=
−
sin
α
{\displaystyle \sin (-\alpha )=-\sin \alpha}
cos
(
−
α
)
=
cos
α
{\displaystyle \cos (-\alpha )=\cos \alpha}
tan
(
−
α
)
=
−
tan
α
{\displaystyle \tan (-\alpha )=-\tan \alpha}
cot
(
−
α
)
=
−
cot
α
{\displaystyle \cot (-\alpha )=-\cot \alpha}
sec
(
−
α
)
=
sec
α
{\displaystyle \sec (-\alpha )=\sec \alpha}
csc
(
−
α
)
=
−
csc
α
{\displaystyle \csc (-\alpha )=-\csc \alpha}
公式四(在单位圆中各三角函数线关于y 轴的对称性)
sin
(
π
−
α
)
=
sin
α
{\displaystyle \sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha}
cos
(
π
−
α
)
=
−
cos
α
{\displaystyle \cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha}
tan
(
π
−
α
)
=
−
tan
α
{\displaystyle \tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha}
cot
(
π
−
α
)
=
−
cot
α
{\displaystyle \cot (\pi -\alpha )=-\cot \alpha}
sec
(
π
−
α
)
=
−
sec
α
{\displaystyle \sec (\pi -\alpha )=-\sec \alpha}
csc
(
π
−
α
)
=
csc
α
{\displaystyle \csc (\pi -\alpha )=\csc \alpha}
公式五(可看作在直角三角形中的转换)
sin
(
π
2
−
α
)
=
cos
α
{\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha}
cos
(
π
2
−
α
)
=
sin
α
{\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha}
tan
(
π
2
−
α
)
=
cot
α
{\displaystyle \tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha}
cot
(
π
2
−
α
)
=
tan
α
{\displaystyle \cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\tan \alpha}
sec
(
π
2
−
α
)
=
csc
α
{\displaystyle \sec \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\csc \alpha}
csc
(
π
2
−
α
)
=
sec
α
{\displaystyle \csc \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sec \alpha}
公式六
sin
(
π
2
+
α
)
=
cos
α
{\displaystyle \sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha}
cos
(
π
2
+
α
)
=
−
sin
α
{\displaystyle \cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha}
tan
(
π
2
+
α
)
=
−
cot
α
{\displaystyle \tan \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha}
cot
(
π
2
+
α
)
=
−
tan
α
{\displaystyle \cot \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\tan \alpha}
sec
(
π
2
+
α
)
=
−
csc
α
{\displaystyle \sec \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\csc \alpha}
csc
(
π
2
+
α
)
=
sec
α
{\displaystyle \csc \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sec \alpha}
公式七
sin
(
3
π
2
−
α
)
=
−
cos
α
{\displaystyle \sin \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\cos \alpha}
cos
(
3
π
2
−
α
)
=
−
sin
α
{\displaystyle \cos \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\sin \alpha}
tan
(
3
π
2
−
α
)
=
cot
α
{\displaystyle \tan \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=\cot \alpha}
cot
(
3
π
2
−
α
)
=
tan
α
{\displaystyle \cot \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=\tan \alpha}
sec
(
3
π
2
−
α
)
=
−
csc
α
{\displaystyle \sec \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\csc \alpha}
csc
(
3
π
2
−
α
)
=
−
sec
α
{\displaystyle \csc \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha \right)=-\sec \alpha}
公式八
sin
(
3
π
2
+
α
)
=
−
cos
α
{\displaystyle \sin \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cos \alpha}
cos
(
3
π
2
+
α
)
=
sin
α
{\displaystyle \cos \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=\sin \alpha}
tan
(
3
π
2
+
α
)
=
−
cot
α
{\displaystyle \tan \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\cot \alpha}
cot
(
3
π
2
+
α
)
=
−
tan
α
{\displaystyle \cot \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\tan \alpha}
sec
(
3
π
2
+
α
)
=
csc
α
{\displaystyle \sec \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=\csc \alpha}
csc
(
3
π
2
+
α
)
=
−
sec
α
{\displaystyle \csc \left(\frac{3\pi}{2}+\alpha \right)=-\sec \alpha}
内在联系
值得注意的是,公式一至八其实是存在着内在联系的,可以写成以下形式:
sin
(
k
π
2
±
α
)
,
k
∈
Z
{\displaystyle \sin \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}}
cos
(
k
π
2
±
α
)
,
k
∈
Z
{\displaystyle \cos \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}}
tan
(
k
π
2
±
α
)
,
k
∈
Z
{\displaystyle \tan \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}}
cot
(
k
π
2
±
α
)
,
k
∈
Z
{\displaystyle \cot \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}}
sec
(
k
π
2
±
α
)
,
k
∈
Z
{\displaystyle \sec \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}}
csc
(
k
π
2
±
α
)
,
k
∈
Z
{\displaystyle \csc \left(\frac{k\pi }{2}\pm \alpha \right), k\in \mathbb{Z}}
可用如下口诀将联系记忆起来:“奇变偶不变,符号看象限”。意思为,当
k
{\displaystyle k}
为奇数 时,
sin
{\displaystyle \sin}
变为
cos
{\displaystyle \cos}
,
cos
{\displaystyle \cos}
变为
sin
{\displaystyle \sin}
,
tan
{\displaystyle \tan}
变为
cot
{\displaystyle \cot}
,
cot
{\displaystyle \cot}
变为
tan
{\displaystyle \tan}
,
sec
{\displaystyle \sec}
变为
csc
{\displaystyle \csc}
,
csc
{\displaystyle \csc}
变为
sec
{\displaystyle \sec}
;而
k
{\displaystyle k}
为偶数 时,三角函数则不变换。对于正负号,则要看最后角所在的象限进行判断,可以使用如下口诀:CAST ,也可以使用ASTC (All Students Take Calculus) 用来记忆。
第一象限的 A 即是 All(全部皆正)。
第二象限的 S 即是 Sin e & CoS ecant(正弦 以及余割 为正)。
第三象限的 T 即是 Tan gent & Cot angent(正切 以及余切 为正)。
第四象限的 C 即是 Cos ine & SeC ant(余弦 以及正割 为正)。
参考来源