双曲正弦

双曲正弦
性质
奇偶性	奇
定义域	(-∞,∞)
到达域	(-∞,∞)
特定值
当x=0	0
当x=+∞	+∞
当x=-∞	-∞
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性质
渐近线	N/A
根	0
临界点	N/A
拐点	0

在数学中，双曲正弦是一种双曲函数，是双曲几何中，与欧几里得几何的正弦函数相对应的函数。双曲正弦可以视为正弦函数的类似物，然而双曲正弦不具备周期性，且在定义域为实数的情况下，其值域也包括了整个实数域。一般的正弦可以表示为单位圆上特定角构成之弦长的一半，或该角与圆之交点的y座标；而双曲正弦则代表单位双曲线上特定双曲角构成之双曲弦长的一半，或该双曲角与单位双曲线之交点的y座标。双曲正弦一般以sinh表示，在部分较旧的文献中有时会以$\mathfrak{Sin}$表示。

定义

双曲正弦一般计为$\sinh$（有时会简写为$\operatorname{sh}$），其在复变分析中定义为:

$\sinh:z\mapsto\frac{\mathrm e^z-\mathrm e^{-z}}2$

其中$z\mapsto\mathrm e^z$是复变指数函数。

复数域双曲正弦的色相环复变函数图形

也就是说，双曲正弦等同于指数函数与其倒数之差的一半。双曲正弦也可以视为自然指数函数的奇函数部分

在双曲几何中，双曲正弦函数类似于欧几里得几何中的正弦函数。

性质

一般性质

• 双曲正弦在实数中是一个连续函数，在复数中是一个全纯函数，因此在整个复数域中双曲正弦处处可微，其导函数为双曲余弦函数。
• 双曲正弦是一个奇函数。
• 在实数域中，双曲正弦是一个严格递增函数。其中在区间$\left ] -\infty,0 \right [$上是凹函数、在区间$\left ] 0,+\infty \right [$上是凸函数。

三角学性质

根据双曲正弦与双曲余弦的指数定义，可以推得：

$\mathrm e^z=\cosh z+\sinh z$

$\mathrm e^{-z}=\cosh z-\sinh z$

其与经典的欧拉公式类似。

当$x\in\R$时，有以下恒等式:

$\sinh(\mathrm ix)=\frac{\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm e^{-\mathrm ix}}2=\mathrm i\sin(x)$

$\sinh(x)=-\mathrm i\sin(\mathrm ix)$

$\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)$

$\sinh x=2\sinh\left (\frac {x} {2} \right )\cosh\left (\frac {x} {2} \right )$

$\sinh x=x\prod_{n=1}^\infty{\cosh\left ( x/2^n\right ) }$

$\sinh^2\left(\frac x2\right)=\frac{\cosh(x)-1}2$

特殊值

双曲正弦存在一些特殊值：

• $\sinh(0)=0$
• $\sinh(1)=\frac{\mathrm e^2-1}{2\mathrm e}$
• $\sinh(\mathrm i)=\mathrm i\sin(1)$
• $\sinh(\ln \varphi)=\frac{1}{2}$

其中$\varphi$为黄金比例

参见

• 正弦