斜面

斜面
缆索铁路运载乘客 往返陡峭的山坡
分类	简单机械
工业	交通

应用斜面原理，弯曲迂回的盘山路，使得行驶于其中的车辆可以安全缓慢地滚动下山。

斜面（inclined plane, ramp）是一种倾斜的平板，能够将物体以相对较小的力从低处提升至高处，但提升这物体的路径长度也会增加。斜面是古代希腊人提出的六种简单机械之中的一种。假若斜面的斜率越小，即斜面与水平面之间的夹角越小，则需施加于物体的作用力会越小，但移动距离也越长；反之亦然。假设移动负载不会造成能量的储存或耗散，则斜面的机械利益是其长度与提升高度的比率。

在日常生活中，时常会使用到斜面。行驶车辆的坡道是一种常见的斜面；卡车装载大型货物时，常会在车尾斜搭一块木板，将货物从木板上往上推，所应用的也是斜面的理论。

斜面的衍生机械

斜板

使用可移动式斜板，可以轻易地将货物装上或卸下密斗货车。滑梯是儿童游乐场常见的设施。靠着用滑梯坚硬表面的法向力抵抗重力，工业滑梯可以将易损坏物体（包括人体在内）安全快速地从高处滑下至低处。民用飞机的充气逃生滑梯能够允许乘客从飞机出口紧急撤离滑下至地面。

螺旋

螺旋是围绕着圆柱的斜面形成的简单机械。阿基米德螺旋机是古希腊哲学家阿基米德的许多发明与发现之一。从那时起，人们时常会使用阿基米德螺旋机来搬动很多不同种类的物质，像水、矿物、谷物等等。

楔子

楔子是两个背靠背的斜面组成的简单机械。楔子可以用来将物件分开，其操作原理主要是将作用于楔子向下的力转变为对物件水平的力，而这两个力几乎垂直。常见应用楔子原理的工具包括斧头。

单摆

单摆摆锤的运动轨迹是一个对称朝上的圆弧。

单摆是由一条绳子与一个摆锤组成的实验仪器，其摆锤的运动轨迹是一个对称朝上的圆弧。这圆弧可以分割为很多小圆弧，每两个相邻的小圆弧最多只相交于一个端点。连接每个小圆弧的两个端点之间的线段称为弦。每个弦都可以视为斜面。令增加分割的数量至无限多，每一个小圆弧的弧长趋向为无穷小的极限，所得到无限多小圆弧的对应斜面会组成原本的圆弧。所以，在任意时间，单摆的摆锤可以想像为移动于某特定斜率的斜面。

机械效率

处于斜面的物体的受力图：$N$是垂直于斜面的法向力，$W=mg$是物体的重量，$f$是施加于物体的拉力。$\theta$是斜面与地面之间夹角的角弧。

斜面实验仪器。

斜面的机械效率是负载重量与拉力的比率。假若移动负载不会造成能量的储存或耗散，则机械效率可以从斜面的大小尺寸获得。

设定处于斜面的物体A的坐标$\mathbf{r}_A$为

$\mathbf{r}_A = R (\cos\theta, \sin\theta)$；

其中，$R$是物体A离地面的斜向距离，$\theta$是斜面与地面之间夹角的角弧。

物体A的速度$\mathbf{v}_A$为

$\mathbf{v}_A = v_A(\cos\theta, \sin\theta).$

其中，$v_A$是速率。

移动负载所使用的输入功率$P_{\mathrm{in}}$为

$P_{\mathrm{in}} = fv_A$；

其中，$f$是施加于物体的拉力。

输出功率$P_{\mathrm{out}}$为负载的垂直提升

$P_{\mathrm{out}} = \mathbf{W}\cdot\mathbf{v}_A = (0, W)\cdot v_A(\cos\theta, \sin\theta) = Wv_A\sin\theta$；

其中，$\mathbf{W}$为负载的重量。

由于能量守恒，输入功率等于输出功率，所以，机械效率$MA$为

$MA= \frac{W}{f}= \frac{1}{\sin\theta}$。

注意到斜面的夹角与斜面高度$H$、长度$L$之间的关系：

$\sin\theta = \frac{H}{L}$，

所以，机械效率$MA$为斜面长度与高度的比率：

$MA = \frac{W}{f} = \frac{L}{H}$。

例如，假设斜面的高度为1米，长度为5米，则机械效率为

$MA = \frac{W}{F} = 5$。

历史

在中国的战国时期，墨子所著作的《墨子》一书中，也有叙述斜面与其省力的原理。

斜面是古希腊人提出的六种简单机械之中的一种。亚历山大的帕普斯（290年－350年）在著作《数学汇编》（《Mathematical Collection》），第八卷里尝试解析斜面的重物平衡问题。他似乎是古希腊唯一做这类研究的几何学者。虽然他的方法并不正确，但给予后来的学者极大的启发。欧洲物理学者尼摩的约但努斯传授的一位无名氏学生于十三世纪撰写了著作《约但努斯论述重量理论之书》（《Jordanus's Book on the Theory of Weight》）。这本书后来印版发行于1565年。在这本书里，应用约但努斯原创的“位形重力”（positional gravity, gravitas secundum situm）概念，首先给出了正确解答。1608年，西蒙·斯特芬发表著作《数学纪要》（《Mathematical Collection》），对于这问题给出正确与精彩的解析，稍后会有更详细叙述。伽利略·伽利莱也花了很多时间，找出问题错误所在，并且用不同方法给出正确答案。

斜面原理

斯特芬证明斜面原理的绘图。

斜面原理表明，给定斜面高度，则在斜面上的物体，其重量的影响与斜面长度成反比。

如右图所示，三棱柱ABC的底面AC与水平面相平行，两个斜面AB、BC的长度比率为2：1，悬挂于三棱柱的链子，其串连的14粒圆珠的大小、重量都相同，所有邻近圆珠之间的距离都一样。假设在斜面BC上有2粒圆珠E、F，则在斜面AB上有4粒圆珠P、Q、R、D。斯特芬推导出，对于在两个斜面AB、BC上的重物，达成静力平衡的条件。

由于对称性，在底面AC下方的8粒圆珠，对于链子在S、V两点的影响相同。所以，假若在斜面AB上的4粒圆珠的影响大于在斜面BC上的2粒圆珠的影响，则链子会朝着滑下斜面AB的方向（逆时钟方向）转动；假若小于，则会朝着滑下斜面BC的方向（顺时钟方向）转动。这样，会产生永恒运动，链子会不停地朝某方向转动。但斯特芬认为，这是荒谬无比、绝对不可能发生的现象，因此，这链子必定呈静止状态。由于对称性，即使将链子在S、V两点剪断，除去底面AC下方的8粒圆珠，也不会改变剩余的链子的静止状态。所以，在两个斜面AB、BC上的重物，其重量与斜面长度成反比，才可达成静力平衡。

以此类推，给定斜面高度，则在斜面上的物体，其重量的影响与斜面长度成反比。

相关条目

• 伽利略关于惯性的斜面实验
• 滚子

外部链接

• 中国古代机械工程网页：斜面与螺旋。
• 互动的电脑模拟网页：斜面