反正切 性质 奇偶性 奇函数 定义域 实数 集 到达域
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle [-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]}
周期 N/A 特定值 当x=0 0 当x=+∞
π
2
{\displaystyle \frac{\pi}{2}}
当x=-∞
−
π
2
{\displaystyle -\frac{\pi}{2}}
其他性质 渐近线
y
=
±
π
2
{\displaystyle y=\pm\frac{\pi}{2}}
根 0 拐点 原点
反正切 （arctangent、
arctan
{\displaystyle \arctan}
、arctg、
tan
−
1
{\displaystyle \tan^{-1}}
[1] 反三角函数 ，是利用已知直角三角形 的对边和邻边这两条直角边的比值 求出其夹角大小的函数，是高等数学中的一种基本特殊函数 。在三角学 中，反正切被定义为一个角度 ，也就是正切 值的反函数 ，由于正切函数在实数 上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数，但我们可以限制其定义域，因此，反正切是单射 和满射 也是可逆 的，但不同于反正弦 和反余弦 ，由于限制正切函数 的定义域在
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}
值域 是全体实数，因此可得到的反函数定义域也是全体实数，而不必再进一步去限制定义域。
由于反正切函数的定义为求已知对边和邻边的角度值，刚好可以视为直角坐标系 的x座标 与y座标，根据斜率 的定义，反正切函数可以用来求出平面上已知斜率的直线与座标轴 的夹角 。
反正切函数经常记为
tan
−
1
{\displaystyle \tan^{-1}}
arctan
{\displaystyle \arctan}
[2] ISO 31 -11标准应将反正切函数记为
arctan
{\displaystyle \arctan}
tan
−
1
{\displaystyle \tan^{-1}}
1
tan
{\displaystyle \frac{1}{\tan}}
1
tan
{\displaystyle \frac{1}{\tan}}
余切函数 。
定义 原始的定义是将正切函数 限制在
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0 , \pi]}
反函数 复变分析 中，反正切是这样定义 的：
arctan
x
=
i
2
ln
(
i
+
x
i
−
x
)
{\displaystyle \arctan x = \frac{\mathrm{i}}{2}\ln \left(\frac{{\mathrm{i}}+ x}{{\mathrm{i}}- x}\right)\,}
这个动作使反正切被推广到复数 。
拓展到复数的反正切函数
直角坐标系中 在直角坐标系 中，反正切函数可以视为已知平面 上直线 斜率 的倾角
级数定义 反正切函数可利用泰勒展开式来求得级数的定义
反正切函数的泰勒展开式为：
∀
x
∈
[
−
1
,
1
]
a
r
c
t
a
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
x
−
1
3
x
3
+
1
5
x
5
−
1
7
x
7
+
⋯
{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad\mathrm{arctan} (x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots}
当
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \left| x \right| \le 1}
x
≠
±
i
{\displaystyle x\neq\pm i}
圆周率 的近似值，最简单的公式是
x
=
1
{\displaystyle x=1}
莱布尼茨公式 [3]
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
−
…
{\displaystyle \frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots}
更精确的写法是梅钦类公式
π
4
=
4
a
r
c
t
a
n
1
5
−
a
r
c
t
a
n
1
239
{\displaystyle \frac\pi4=4\mathrm{arctan}\frac15-\mathrm{arctan}\frac1{239}}
性质 由于反正切函数是一个奇函数 ，因此满足下面等式：
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
x
{\displaystyle \arctan (-x) = - \arctan x \!}
反正切函数的微分导数为：
a
r
c
t
a
n
′
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\rm arctan}'x=\frac{1}{1+x^2}}
a
r
c
t
a
n
″
x
=
−
2
x
(
1
+
x
2
)
2
{\displaystyle {\rm arctan}''x=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2\,}}
a
r
c
t
a
n
‴
x
=
6
x
2
−
2
(
1
+
x
2
)
3
{\displaystyle {\rm arctan}'''x=\frac{\; 6x^2-2 \;}{\left(1+x^2\right)^3\,}}
a
r
c
t
a
n
⁗
x
=
−
24
x
3
+
24
x
(
1
+
x
2
)
4
{\displaystyle {\rm arctan}''''x=\frac{ \; -24x^3+24x \; }{\;\left(1+x^2\right)^4\,}}
⋯
.
{\displaystyle \cdots \qquad.}
恒等式 和差
arctan
x
±
arctan
y
=
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
y
<
1
{\displaystyle \arctan\,x \pm \arctan\,y =\arctan\,{\frac{x\pm y}{1\mp xy}}, xy < 1}
x
y
>
−
1
{\displaystyle xy > -1}
arctan
x
±
arctan
y
=
π
±
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
>
0
,
x
y
>
1
{\displaystyle \arctan\,x \pm \arctan\,y =\pi \pm \arctan\,{\frac{x\pm y}{1\mp xy}}, x > 0, xy > 1}
x
>
0
,
x
y
<
−
1
{\displaystyle x > 0, xy < -1}
arctan
x
±
arctan
y
=
−
π
±
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
<
0
,
x
y
>
1
{\displaystyle \arctan\,x \pm \arctan\,y =-\pi \pm \arctan\,{\frac{x\pm y}{1\mp xy}}, x < 0, xy > 1}
x
<
0
,
x
y
<
−
1
{\displaystyle x < 0, xy < -1}
Atan2 在三角函数 中，atan2是反正切函数的一个变种，有两个变数，主要是提供给计算机编程语言一个简便的角度计算方式，其定义为：
atan2
(
y
,
x
)
=
{
arctan
(
y
x
)
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
y
≥
0
,
x
<
0
arctan
(
y
x
)
−
π
y
<
0
,
x
<
0
+
π
2
y
>
0
,
x
=
0
−
π
2
y
<
0
,
x
=
0
undefined
y
=
0
,
x
=
0
{\displaystyle \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
\arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\
\arctan\left(\frac y x\right) + \pi& \qquad y \ge 0 , x < 0 \\
\arctan\left(\frac y x\right) - \pi& \qquad y < 0 , x < 0 \\
+\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\
\text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0
\end{cases}}
参考文献
↑ Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. InverseCotangent
↑ 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie , Encyclopædia Universalis.
↑ Connue des anglophones sous le nom de "formule de 詹姆斯·格雷果里 " ; cette formule avait en fait été déjà découverte parMadhava of Sangamagrama au quatorzième siècle ; voir l'article de la Wikipedia anglophone pourplus de détails
参见
