反正弦

反正弦
性质
奇偶性	奇
定义域	[-1, 1]
到达域	$\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]$
周期	N/A
特定值
当x=0	0
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	$\frac\pi 2$
最小值	$-\frac\pi 2$
其他性质
渐近线	N/A
根	0

反正弦（arcsine，$\arcsin$，$\sin ^{-1}$）是一种反三角函数。在三角学中，反正弦被定义为一个角度，也就是正弦值的反函数。正弦函数不是一个对射函数（即多个值可能只得到一个值，例如1和所有同界角），故无法有反函数，但你可以限制其定义域，因此，它是单射和满射也是可逆的。按照定义，我们将实数的定义域限制在区间$\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]$中的正弦函数，在原始的定义中，若输入值不在区间$[-1,1]$，是没有意义的，但是三角函数扩充到复数之后，若输入值不在区间$[-1,1]$，将传回复数。

命名

反正弦的符号是$\arcsin$，也常常计作$\sin ^{-1}$，但这样其实是不明确的，因为，可能会和指数混淆，以致于被当成倒数，但是倒数也有自己的写法，例如$\sin$倒数是$\csc$，因此不易和$\sin ^{-1}$混淆。另外在某些计算机的按键或电脑的编程语言中，反正弦会以asin或asn表示。

定义

原始的定义是将正弦函数限制在$\left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]$的反函数，得到如下定义域和值域：

$\arcsin: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$

利用自然对数可将定义推广到整个复数集：

$\arcsin x = -{\mathrm{i}}\ln \left({\mathrm{i}}x + \sqrt{1 - x^2}\right) \,$

拓展到复数的反正弦函数

运算

他的微分是：

$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\arcsin x= \sum_{k=0}^\infty{-\frac12\choose k}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} =x+\frac16x^3+\frac3{40}x^5+\frac5{112}x^7+\cdots$.

由于对称关系保持负的参数，根据定义的奇函数，存在如下等式： $\arcsin\left(-x\right)=-\arcsin x$

另外，反正弦的和差也可以核定成一个反正弦来表达：

$\arcsin x_1\pm\arcsin x_2= \begin{cases} X& \pm x_1x_2\le0\lor x_1^2+x_2^2\le1\\ \pi-X& x_1>0\land\pm x_2>0\land x_1^2+x_2^2>1\\ -\pi-X& x_1<0\land\pm x_2<0\land x_1^2+x_2^2>1 \end{cases}$

con $X=\arcsin\left(x_1\sqrt{1-x_2^2}\pm x_2\sqrt{1-x_1^2}\right)$

和差公式：

$\arcsin(x \pm y)=\arcsin\left(\sqrt{\frac{1+x^2-y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right) \pm \arcsin\left(\sqrt{\frac{1-x^2+y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right)$

倍变数公式： $\arcsin(2x)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{2}}\right)$

$\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{2}}\right)$

$\arcsin(kx)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-k^2x^2}}{2}}\right)$

per 0 ≤ kx ≤ 1

$\arcsin(sinx)= \begin{cases} -(X+\pi)& x\in[-\pi,-\frac{\pi}{2}]\\ X& x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \\ \pi-X& x\in[\frac{\pi}{2},\pi] \end{cases}$

参见

• 正弦