反余弦

反余弦
性质
奇偶性	非奇非偶函数
定义域	[-1, 1]
到达域	$[0 , \pi]$
周期	N/A
特定值
当x=0	$\frac{\pi}{2}$
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	$\pi$
最小值	$0$
其他性质
渐近线	N/A
根	1

反余弦（arccosine, $\arccos$, $\cos^{-1}$）是一种反三角函数，也是高等数学中的一种基本特殊函数。在三角学中，反余弦被定义为一个角度，也就是余弦值的反函数，然而余弦函数是双射且不可逆的而不是一个对射函数（即多个值可能只得到一个值，例如1和所有同界角），故无法有反函数，但我们可以限制其定义域，因此，反余弦是单射和满射也是可逆的，另外，我们也需要限制值域，且限制值域时，不能和反正弦定义相同的区间，因为这样会变成一对多，而不构成函数，所以我们将反余弦函数的值域定义在 ，$\left[0, \pi\right]$。另外，在原始的定义中，若输入值不在区间$[-1,1]$，是没有意义的，但是三角函数扩充到复数之后，若输入值不在区间$[-1,1]$，将传回复数。

命名

反余弦的数学符号是$\arccos$，最常被计为$\cos^{-1}$。在不同的编程语言和有些计算器则使用acos或acs。

定义

原始的定义是将余弦函数限制在$[0 , \pi]$的反函数
在复变分析中，反余弦是这样定义的:

$\arccos x = -{\mathrm{i}}\ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,$

这个动作使反余弦被推广到复数。

拓展到复数的反余弦函数

性质

反余弦函数是一个定义在区间$\left[-1, 1\right]$的严格递减连续函数。

$\arccos: \left[-1, 1\right]\rightarrow\left[0, \pi\right]$.

其图形是对称的，即对称于点$\left(0,\frac\pi 2\right)$，所以满足$\arccos x=\pi-\arccos\left(-x\right)$.
反余弦函数的导数是：
$\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
反余弦函数的泰勒级数是：

$\begin{align} \arccos x & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin x \\ & {}= \frac {\pi} {2} - (x + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{x^7} {7} + \cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} ; \qquad | x | \le 1 \end{align}$

基于上述级数在$| x |$接近1时收敛速度十分缓慢，在$x=-1$求得的泰勒级数是：

$\begin{align} \arccos x & {}= \pi - \sqrt{2(x+1)}\left(1+\left( \frac {1} {4} \right) \frac {x+1} {3}+ \left( \frac {1 \cdot 3} {4 \cdot 8} \right) \frac {(x+1)^2} {5}+ \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {4 \cdot 8 \cdot 12 } \right) \frac{(x+1)^3} {7} + \cdots\right) \\ & {}= \pi - \sqrt{2(x+1)}\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{3n}(n!)^2} \right) \frac {(x+1)^n} {(2n+1)} \end{align}$

由于先前描述的对称关系$\arccos x=\pi-\arccos\left(-x\right)$，可由上式计算$| x |$接近1时的反余弦值。

也可以用反余弦和差公式将两个余弦值合并成一个余弦值:

$\arccos x_1+\arccos x_2= \begin{cases} \arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)& x_1+x_2\ge0\\ 2\pi-\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)& x_1+x_2<0 \end{cases}$

$\arccos x_1-\arccos x_2= \begin{cases} -\arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)& x_1\ge x_2\\ \arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)& x_1<x_2 \end{cases}$.

应用

直角三角形的辐角为其邻边和斜边之间的比率的反余弦值。

参见

• 余弦
• 反正弦