正割

正割
性质
奇偶性	偶
定义域	{x|x≠kπ+π/2，k∈Z}
到达域	|secx|≥1
周期	2π
特定值
当x=0	1
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性质
渐近线	N/A
根	无实根
临界点	kπ
拐点	kπ-π/2
k是一个整数。

正割（Secant，$\sec$）是三角函数的一种。它的定义域不是整个实数集，值域是绝对值大于等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为$2 \pi$。

正割是三角函数的正函数（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在$2k \pi$到$2 k \pi + \frac{\pi}{2}$的区间之间，函数是递增的，另外正割函数和余弦函数互为倒数。

在单位圆上，正割函数位于割线上，因此将此函数命名为正割函数。

和其他三角函数一样，正割函数一样可以扩展到复数。

符号史

正割的数学符号为$\sec$，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用。

定义

直角三角形中

直角三角形，$\angle C$为直角，$\angle A$的角度为 $\theta$， 对于$\angle A$而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

在直角三角形中，一个锐角$\angle A$的正割定义为它的斜边与邻边的比值，也就是：

$\sec \theta = \frac {\mathrm{c}}{\mathrm{b}}\,\!$

可以发现其定义和余弦函数互为倒数。

直角坐标系中

设$\alpha$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left( {x,y} \right)$是角的终边上一点，$r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$是P到原点O的距离，则$\alpha$的正割定义为：

$\sec \alpha = \frac{r}{x}\,\!$

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角$\theta$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于$\sin \theta$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了$\sec \theta =\frac{1}{x}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于$2\pi$或小于$-2\pi$的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为$2\pi$的周期函数：

$\sec\theta = \sec\left(\theta + 2\pi k \right)$

对于任何角度$\theta$和任何整数$k$。

与其他函数定义

正割函数和余弦函数互为倒数

即：

$\sec x = \frac{1}{\cos x}$

级数定义

正割也能使用泰勒级数来定义：

$\sec x = 1+\frac{x^2}{2}+\frac{5 x^4}{24}+\frac{61 x^6}{720}+\frac{277 x^8}{8064}+\frac{50521 x^{10}}{3628800}+.....$。

微分方程定义

$\sec 'x\ = \sec x\tan x$

$\sec x =\left( \ln \left |\sec x + \tan x\right | \right) '$

指数定义

$\sec \theta = \frac{2}{e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,$

恒等式

和差角公式

$\sec(\theta\pm\psi)=\frac{\sec\theta\sec\psi} {1\mp\tan\theta\tan\psi}$

巴罗的正割积分

艾萨克·巴罗在1670年提出正割的积分

$\int_0^{\phi}\sec t \, dt = \ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\phi}{2}\right)$

参见

• 正弦
• 余弦
• 正切
• 余切
• 余割
• 三角学
• 三角函数
• 函数
• 正弦波