反正切 性質 奇偶性 奇函數 定義域 實數 集 到達域
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle [-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]}
周期 N/A 特定值 當x=0 0 當x=+∞
π
2
{\displaystyle \frac{\pi}{2}}
當x=-∞
−
π
2
{\displaystyle -\frac{\pi}{2}}
其他性質 漸近線
y
=
±
π
2
{\displaystyle y=\pm\frac{\pi}{2}}
根 0 拐點 原點
反正切 (arctangent、
arctan
{\displaystyle \arctan}
、arctg、
tan
−
1
{\displaystyle \tan^{-1}}
)[1] 是一種反三角函數 ,是利用已知直角三角形 的對邊和鄰邊這兩條直角邊的比值 求出其夾角大小的函數,是高等數學中的一種基本特殊函數 。在三角學 中,反正切被定義為一個角度 ,也就是正切 值的反函數 ,由於正切函數在實數 上不具有一一對應的關係,所以不存在反函數,但我們可以限制其定義域,因此,反正切是單射 和滿射 也是可逆 的,但不同於反正弦 和反餘弦 ,由於限制正切函數 的定義域在
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}
時,其值域 是全體實數,因此可得到的反函數定義域也是全體實數,而不必再進一步去限制定義域。
由於反正切函數的定義為求已知對邊和鄰邊的角度值,剛好可以視為直角坐標系 的x座標 與y座標,根據斜率 的定義,反正切函數可以用來求出平面上已知斜率的直線與座標軸 的夾角 。
反正切函數經常記為
tan
−
1
{\displaystyle \tan^{-1}}
,在外文文獻中常記為
arctan
{\displaystyle \arctan}
[2] ,在一些舊的教科書中也有人記為arctg,但那是舊的用法,不過根據ISO 31 -11標準應將反正切函數記為
arctan
{\displaystyle \arctan}
,因為
tan
−
1
{\displaystyle \tan^{-1}}
可能會與
1
tan
{\displaystyle \frac{1}{\tan}}
混淆,
1
tan
{\displaystyle \frac{1}{\tan}}
是餘切函數 。
定義
原始的定義是將正切函數 限制在
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0 , \pi]}
的反函數
在復變分析 中,反正切是這樣定義 的:
arctan
x
=
i
2
ln
(
i
+
x
i
−
x
)
{\displaystyle \arctan x = \frac{\mathrm{i}}{2}\ln \left(\frac{{\mathrm{i}}+ x}{{\mathrm{i}}- x}\right)\,}
這個動作使反正切被推廣到複數 。
拓展到複數的反正切函數
直角坐標系中
在直角坐標系 中,反正切函數可以視為已知平面 上直線 斜率 的傾角
級數定義
反正切函數可利用泰勒展開式來求得級數的定義
反正切函數的泰勒展開式為:
∀
x
∈
[
−
1
,
1
]
a
r
c
t
a
n
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
+
1
2
k
+
1
=
x
−
1
3
x
3
+
1
5
x
5
−
1
7
x
7
+
⋯
{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad\mathrm{arctan} (x)=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots}
當
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \left| x \right| \le 1}
且
x
≠
±
i
{\displaystyle x\neq\pm i}
時,這是一個收斂的級數,這使得反正切函數被定義在整個實數集上。這個級數也可以用來計算圓周率 的近似值,最簡單的公式是
x
=
1
{\displaystyle x=1}
時的情況,稱為萊布尼茨公式 [3]
π
4
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
−
…
{\displaystyle \frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots}
更精確的寫法是梅欽類公式
π
4
=
4
a
r
c
t
a
n
1
5
−
a
r
c
t
a
n
1
239
{\displaystyle \frac\pi4=4\mathrm{arctan}\frac15-\mathrm{arctan}\frac1{239}}
性質
由於反正切函數是一個奇函數 ,因此滿足下面等式:
arctan
(
−
x
)
=
−
arctan
x
{\displaystyle \arctan (-x) = - \arctan x \!}
反正切函數的微分導數為:
a
r
c
t
a
n
′
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\rm arctan}'x=\frac{1}{1+x^2}}
a
r
c
t
a
n
″
x
=
−
2
x
(
1
+
x
2
)
2
{\displaystyle {\rm arctan}''x=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2\,}}
a
r
c
t
a
n
‴
x
=
6
x
2
−
2
(
1
+
x
2
)
3
{\displaystyle {\rm arctan}'''x=\frac{\; 6x^2-2 \;}{\left(1+x^2\right)^3\,}}
a
r
c
t
a
n
⁗
x
=
−
24
x
3
+
24
x
(
1
+
x
2
)
4
{\displaystyle {\rm arctan}''''x=\frac{ \; -24x^3+24x \; }{\;\left(1+x^2\right)^4\,}}
⋯
.
{\displaystyle \cdots \qquad.}
恆等式
和差
arctan
x
±
arctan
y
=
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
y
<
1
{\displaystyle \arctan\,x \pm \arctan\,y =\arctan\,{\frac{x\pm y}{1\mp xy}}, xy < 1}
(+)、
x
y
>
−
1
{\displaystyle xy > -1}
(-)
arctan
x
±
arctan
y
=
π
±
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
>
0
,
x
y
>
1
{\displaystyle \arctan\,x \pm \arctan\,y =\pi \pm \arctan\,{\frac{x\pm y}{1\mp xy}}, x > 0, xy > 1}
(+)、
x
>
0
,
x
y
<
−
1
{\displaystyle x > 0, xy < -1}
(-)
arctan
x
±
arctan
y
=
−
π
±
arctan
x
±
y
1
∓
x
y
,
x
<
0
,
x
y
>
1
{\displaystyle \arctan\,x \pm \arctan\,y =-\pi \pm \arctan\,{\frac{x\pm y}{1\mp xy}}, x < 0, xy > 1}
(+)、
x
<
0
,
x
y
<
−
1
{\displaystyle x < 0, xy < -1}
(-)
Atan2
在三角函數 中,atan2是反正切函數的一個變種,有兩個變數,主要是提供給計算機編程語言一個簡便的角度計算方式,其定義為:
atan2
(
y
,
x
)
=
{
arctan
(
y
x
)
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
y
≥
0
,
x
<
0
arctan
(
y
x
)
−
π
y
<
0
,
x
<
0
+
π
2
y
>
0
,
x
=
0
−
π
2
y
<
0
,
x
=
0
undefined
y
=
0
,
x
=
0
{\displaystyle \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}
\arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\
\arctan\left(\frac y x\right) + \pi& \qquad y \ge 0 , x < 0 \\
\arctan\left(\frac y x\right) - \pi& \qquad y < 0 , x < 0 \\
+\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\
\text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0
\end{cases}}
參考文獻
↑ Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. InverseCotangent
↑ 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie , Encyclopædia Universalis.
↑ Connue des anglophones sous le nom de "formule de 詹姆斯·格雷果里 " ; cette formule avait en fait été déjà découverte parMadhava of Sangamagrama au quatorzième siècle ; voir l'article de la Wikipedia anglophone pourplus de détails
參見