极限（数列）

极限，即为一个数列$\{a_n\}$，使得$\lim_{n \to \infty}a_n=L$，其中$L$为一确定的常数，亦即数列$\{a_n\}$随着$n$的增加而趋近于$L$。

一个数列$\{a_n\}$有极限$L$（记作$\lim_{n \to \infty}a_n=L$）意味着这样一件事：总能找到这样的一个数$\epsilon$，当数列的项充分大时，该项之后的所有项都会落在点$L$的邻域$U(\epsilon ,L)$中。

极限理论是微积分学乃至现代分析理论的基石。数列的极限理论通过刻画收敛数列的特征，揭示了实数系的本质。

定义

设一数列$\{ x_n \},\ x_n \in \mathbb{R},\ n \in \mathbb{N},\ L \in \mathbb{R}$，若对于任意的正实数$\epsilon$，存在自然数$N$，使得对所有$n>N$，有

$$\left|x_n-L\right| < \epsilon$$

用符号来表示即

$$\forall \epsilon >0 ,\ \exists N \in \mathbb N,\ \forall n>N,\ |x_n-L| < \epsilon$$

则称数列$\{ x_n \}$收敛于$L$，记作

$$\lim _{n \to \infty} x_n=L$$

收敛数列

其中一个判断数列是否收敛的定理，称为单调收敛定理，和实数完备性相关：单调有界数列必收敛，即是说，有上界的单调递增数列，或是有下界的单调递减数列，必然收敛。

数列极限的性质

定理1（唯一性）

若数列$\left\{ {{x_n}} \right\}$的极限存在，则极限是唯一的。

证明

设数列$\{x_n\}$有两个不相等的极限值$a,\ b$,则对任意的$\epsilon >0$,存在$N \in \N$，使得 $m,n > N$ 时，恒有 $|x_n - a| < \frac{\epsilon}{2},\quad |x_n - b| < \frac{\epsilon}{2}$ ，则接下来考虑 :

$$|a - b| = |(a - x_n) - (b - x_n)| \le |a - x_n| + |b - x_n| < \epsilon$$

因此$a=b$，故极限唯一。

定理2（有界性）

若数列$\{x_n\}$有极限，则$\{x_n\}$有界，即 $\exists M > 0, \forall n \in \mathbb{N}, |x_n| \le M$ 。

证明

因为 $\lim _{n \to \infty} x_n=L$，所以对于$\varepsilon = 1$，$\exists N \in \mathbb{N}$，使得 $\forall n > N, |x_n - L| < \varepsilon = 1$

从而有 $|x_n| = |(x_n - L) + L| \le |x_n - L| + |L| < 1 + |L|$

令 $M = \max (|x_1|,\ |x_2|,\cdots ,\ |x_N|,\ 1 + |L|)$

于是 $\forall n \in \mathbb{N}, |x_n| \le M$

即$\{x_n\}$有界。

注意有界数列不一定有极限，如数列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ \frac{1 - (-1)^n}{2},\cdots$ 是一个有界数列，但没有极限。

但是当数列有界，存在一个递增或是递减的子数列的话，则可以证明，数列存在极限。

我们也可以根据定理二来作推论，如果一个数列无界，则知道这个数列一定发散。

定理3（保序性）

若$\lim _{n \to \infty} x_n=a, \lim _{n \to \infty} y_n=b$

且$a>b$，则 $\exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, x_n > y_n$

证明：

已知

$$\lim _{n \to \infty} x_n=a$$

$$\lim _{n \to \infty} y_n=b$$

且$a>b$。取

$$\varepsilon = \frac{a - b}{2} > 0$$

由极限定义知：$\exists N_1 \in \mathbb{N},\forall n > N_1$，有

$$|x_n - a| < \frac{a - b}{2}$$

从而

$$x_n > a - \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2}$$

$\exists N_2 \in \mathbb{N},\forall n > N_2$，有

$$|y_n - b| < \frac{a - b}{2}$$

从而

$$y_n < b + \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2}$$

所以当$n > N = \max (N_1,\ N_2)$时，有

$$y_n < \frac{a + b}{2} < x_n$$

即

$$x_n > y_n$$

数列的四则运算

设$\lim _{n \to \infty} x_n=a$，$\lim _{n \to \infty} y_n=b$，则

1. $\lim _{n \to \infty} \left( {{x_n} \pm {y_n}} \right)= \lim _{n \to \infty } {x_n} \pm \lim _{n \to \infty } {y_n}$；
2. $\lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot {y_n} = \lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot \lim _{n \to \infty } {y_n}$；
3. 若$b \ne 0,{y_n} \ne 0$,则$\lim _{n \to \infty } \frac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = \frac{{\lim _{n \to \infty } {x_n}}}{{\lim _{n \to \infty } {y_n}}}$.

参看

• 级数
• 函数极限