整数

整数，在电脑应用上也称为整型，是序列$\{\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然数一样，整数也是一个可数的无限集合。这个集合在数学上通常表示粗体$Z$或$\mathbb{Z}$，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

在代数数论中，这些属于有理数的一般整数会被称为有理整数，用以和高斯整数等的概念加以区分。

正整数与负整数

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整数是一个集合，通常可以分为正整数、零（0）和负整数。正整数（符号：Z⁺或$\mathbb{Z}^{+}$）即大于0的整数，是正数与整数的交集。而负整数（符号：$Z^-$或$\mathbb{Z}^{-}$）即小于0的整数，是负数与整数的交集。和整数一样，两者都是可数的无限集合。除正整数和负整数外，通常将0与正整数统称为非负整数（符号：Z⁺₀或$\mathbb{Z}^{+}_{0}$），而将0与负整数统称为非正整数（符号：Z^-₀或$\mathbb{Z}^{-}_{0}$）。在数论中自然数$\mathbb{N}$通常被视为与正整数等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

代数性质

下表给出任何整数$a, b, c$的加法和乘法的基本性质。

性质	加法	乘法
封闭性	$a + b$是整数	$a \times b$是整数
结合律	$a + (b + c) = (a + b) + c$	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
交换律	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
存在单位元	$a + 0 = a$	$a \times 1 = a$
存在逆元	$a + (-a) = 0$	在整数集中，只有1或-1对于乘法存在整数逆元，其余整数$a$关于乘法的逆元为$\frac{1}{a}$，都不为整数。
分配律	$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

$\mathbb{Z}$是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是$\mathbb{Z}$仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与$(\mathbb{Z},+)$同构。

有序性质

$\mathbb{Z}$是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：

$\ldots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \ldots$

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

• 若$a < b$且$c < d$，则$a + c < b + d$（加法）
• 若$a < b$且$c > 0$，则$a \times c < b \times c$；若$c < 0$，则$a \times c > b \times c$（乘法）

整数环是一个欧几里德域。

电脑中的整数

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$\mathbb{Z}$的基数

$\mathbb{Z}$的基数（或势）是ℵ₀，与$\mathbb{N}$相同。这可以从$\mathbb{Z}$建立一双射函数到$\mathbb{N}$来证明，亦即该函数要同时满足单射及满射的条件，例如：

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \mbox{if } x \ge 0 \\ 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \end{cases}$

当该函数的定义域仅限于$\mathbb{Z}$，则证明$\mathbb{Z}$与$\mathbb{N}$可建立一一对应的关系，即两集等势。

参见

• 整数数列线上大全
• 超整数