虚数单位

各种各样的数

基本

$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$

正数 $\mathbb{R}^+$
自然数 $\mathbb{N}$
正整数 $\mathbb{Z}^+$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb{Q}$
代数数 $\mathbb{A}$
实数 $\mathbb{R}$
复数 $\mathbb{C}$
高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$

负数 $\mathbb{R}^-$
整数 $\mathbb{Z}$
负整数 $\mathbb{Z}^-$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb{I}$
二次无理数
 艾森斯坦整数 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb{H}$
八元数 $\mathbb{O}$
十六元数 $\mathbb{S}$
超实数 $^*\mathbb{R}$
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
 共四元数
 超复数
 超数
 超现实数

其他

素数 $\mathbb{P}$
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同余
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi = 3.141592653\dots$
自然对数的底 $e = 2.718281828\dots$
虚数单位 $i = \sqrt{-1}$
无穷大 $\infty$

{\displaystyle i} — 虚数单位 $i$ 在复平面的位置。横轴是实数，竖轴是虚数。

在数学、物理及工程学里，虚数单位标记为 $i$ ，在电机工程和相关领域中则标记为 $j$ ，这是为了避免与电流（记为 $i(t)$ 或 $i$ ）混淆。虚数单位的发明使实数系统 $\mathbb{R}$ 能够延伸至复数系统 $\mathbb{C}$ 。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如方程式 $x^2 + 1 = 0$ 就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。

定义

$\ldots$
${ {i}^{-{ 3}} } = i$
${ {i}^{-{ 2}} } = -1$
${ {i}^{-{ 1}} } = -i$
${ {i}^{0} } = 1$
${ {i}^{1} } = i$
${ {i}^{2} } = -1$
${ {i}^{3} } = -i$
${ {i}^{4} } = 1$
${ {i}^{5} } = i$
${ {i}^{6} } = -1$
$\ldots$

虚数单位 $i$ 定义为二次方程式 $x^2 + 1 = 0$ 的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为：

x^2 = -1

。

由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号 $i$ 。很重要的一点是， $i$ 是一个良定义的数学构造。

另外，虚数单位同样可以表示为：

i = \sqrt{ -{ 1} }

然而 $i = \sqrt{ -{ 1} }$ 往往被误认为是错的，他们的证明的方法是：

因为

-1 = i\cdot i=\left(\sqrt{-1}\right)\times\left(\sqrt{-1}\right)=\sqrt{\left(-1\right)\times\left(-1\right)}=\sqrt{1}=1

，但是-1不等于1。

但请注意：

\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}

成立的条件有

a

,

b

不能为负数。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设 $i$ 是一个未知数，然后依照 $i$ 的定义，替代任何 $i^2$ 的出现为-1。 $i$ 的更高整数幂数也可以替代为 $-i$ ， $1$ ，或 $i$ ，根据下述方程式：

i^3 = i^2 i = (-1) i = -i

，

i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1

，

i^5 = i^4 i = (1) i = i

。

一般地，有以下的公式：

i^{4n} = 1

i^{4n+1} = i

i^{4n+2} = -1

i^{4n+3} = -i

i^n = i^{n \bmod 4}

其中 $\bmod 4$ 表示被4除的余数。

$i$ 和 $-i$

方程 $x^2 = -1$ 有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解 $i$ ，那么 $-i$ （不等于 $i$ ）也是一个解，由于这个方程是 $i$ 的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为 $i$ ，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然 $-i$ 和 $i$ 在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是 $i$ 和 $-i$ 之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同时将所有i替换为-i，该等式仍成立。

-i^2 = 1

-i = i^{-1} = \frac{1}{i}

正当的使用

虚数单位有时记为 $\sqrt{-1}$ 。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ 仅对于非负的实数 $a$ 和 $b$ 才成立。

假若这个关系在虚数仍成立，则会出现以下情况：

-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1

（不正确）

-1 = i \cdot i = \pm \sqrt{-1} \cdot \pm \sqrt{-1} = \pm \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1

（不正确）

\frac{1}{i} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} = \sqrt{\frac{1}{-1}}  = \sqrt{-1} = i

（不正确）

$i$ 的运算

许多实数的运算都可以推广到 $i$ ，例如平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与 $i$ 有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

$i$ 的平方根为：

\pm \left({\frac{\sqrt{2}}{2}} + {\frac{\sqrt{2}}{2}} i\right) = \pm {\frac{\sqrt{2}}{2}}(1 + i)

这是因为：

{\displaystyle \begin{align} \left[\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)\right]^2 &= \left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 (1 + i)^2 \ \\ &= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \\ &= \frac{1}{2} (1 + 2i -1) \\ &= i \end{align} }

使用算术平方根符号表示：

\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)

其解法为先假设两实数

x

及

y

，使得

(x+iy)^2=i

，求解

x,y

^[1]

一个数的 $ni$ 次幂为：

x^{ni} = \cos \ln x^n + i \sin \ln x^n

一个数的

ni

次方根为：

\sqrt[ni]{x} = \cos \ln \sqrt[n]{x} - i \sin \ln \sqrt[n]{x}

利用欧拉公式

i^i = \left[ e^{i (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} \right]^i = e^{i^2 (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2k \pi)}

，

k \in \mathbb{Z}

代入不同的

k

值，可计算出无限多的解。当

k=0

最小的解是

e^{-\pi/2} \approx

0.20787957635076...^[2]

以 $i$ 为底的对数为：

\log_ix = {{2 \ln x} \over i\pi}

$i$ 的余弦是一个实数：

\cos i = \cosh 1 = {{e + \frac{1}{e}} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e}

$i$ 的正弦是纯虚数：

\sin i = i\sinh 1  = {{e - \frac{1}{e}} \over 2} i = {{e^2 - 1} \over 2e} i

在编程语言

大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。
但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。
一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。
在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。
在Mathematica，虚数单位的表示方法为I、𝕚或𝕛。
在Maple，必须启用虚数功能，并选择用i还是j表示虚数单位。

注解

↑ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.
↑ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

参见

参考文献

Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

[1] University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.

[2] "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

[1]

[2]

定义

i和-i

正当的使用

i的运算

在编程语言

注解

参见

参考文献

外部链接

$i$ 和 $-i$

$i$ 的运算