欧拉公式 (英语:Euler's formula ,又称尤拉公式 )是复分析 领域的公式,它将三角函数 与复 指数函数 关联起来,因其提出者莱昂哈德·欧拉 而得名。欧拉公式提出,对任意实数
x
{\displaystyle x}
,都存在
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix} = \cos x + i\sin x}
其中
e
{\displaystyle e}
是自然对数的底数 ,
i
{\displaystyle i}
是虚数单位 ,而
cos
{\displaystyle \cos}
和
sin
{\displaystyle \sin}
则是余弦、正弦对应的三角函数 ,参数
x
{\displaystyle x}
则以弧度 为单位[1] 。这一复数指数函数有时还写作 cis x (英语:c osine plus i s ine ,余弦加i 乘以正弦)。由于该公式在
x
{\displaystyle x}
为复数 时仍然成立,所以也有人将这一更通用的版本称为欧拉公式[2] 。
欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼 将欧拉公式称为:“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”[3] 。
当
x
=
π
{\displaystyle x = \pi}
时,欧拉公式变为
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle { {{ {e}^{{ {i}\, {\pi} }} }}+{1} } = 0 }
,即欧拉恒等式 。
历史
约翰·伯努利 注意到有[4]
1
1
+
x
2
=
1
2
(
1
1
−
i
x
+
1
1
+
i
x
)
.
{\displaystyle \frac{1}{1 + x^2} = \frac12 \left( \frac{1}{1 - ix} + \frac{1}{1 + ix}\right).}
并且由于
∫
d
x
1
+
a
x
=
1
a
ln
(
1
+
a
x
)
+
C
,
{\displaystyle \int \frac{dx}{1 + ax} = \frac{1}{a} \ln(1 + ax) + C,}
上述公式通过把自然对数和复数(虚数)联系起来,告诉我们关于复对数 的一些信息。然而伯努利并没有计算出这个积分。
欧拉也知道上述方程,伯努利对欧拉的回应表明他还没有完全理解复对数。欧拉指出复对数可以有无穷多个值。
与此同时,罗杰·柯特斯 于 1714 年发现[5]
i
x
=
ln
(
cos
x
+
i
sin
x
)
.
{\displaystyle ix = \ln(\cos x + i\sin x).}
由于三角函数的周期性,一个复数可以加上 2i π 的不同倍数,而它的复对数可以保持不变。
1740 年左右,欧拉把注意力从对数转向指数函数,得到了以他命名的欧拉公式。欧拉公式通过比较指数的级数展开和三角函数得到(其实此证法存在问题,原因见验证方法 ,但结论正确。),于1748 年发表[5] [6] 。
大约 50 年之后,卡斯帕尔·韦塞尔 提出可以把复数视做复平面 中的点。
形式
对于任意实数
x
{\displaystyle x\,}
,以下等式恒成立:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix} = \cos x+i\sin x}
由此也可以推导出
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}
及
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
{\displaystyle \cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} }
。
当
x
=
π
{\displaystyle x=\pi\,}
时,欧拉公式的特殊形式为
e
i
π
+
1
=
0
{\displaystyle { {{ {e}^{{ {i}\, {\pi} }} }}+{1} } = 0 }
。
证明
首先,在复数域上对
e
x
{\displaystyle e^x \,}
进行定义:
对于
a
,
b
∈
R
,
c
=
a
+
i
b
∈
C
{\displaystyle a,b\in\mathbb{R},c=a+ib\in \mathbb{C}}
,规定
e
c
=
lim
n
→
∞
(
1
+
c
n
)
n
{\displaystyle e^c = \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{c}{n})^n}
。
对复数的极坐标表示
w
=
u
+
i
v
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
{\displaystyle w=u+iv=r(\cos\theta+i\sin\theta)}
,有:
r
=
u
2
+
v
2
∈
R
,
θ
=
arctan
(
v
u
)
∈
R
{\displaystyle r=\sqrt{u^2+v^2}\in\mathbb{R},\theta=\arctan(\frac{v}{u})\in\mathbb{R}}
且根据棣莫弗公式 ,
w
n
=
(
u
+
i
v
)
n
=
r
n
(
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
)
{\displaystyle w^n=(u+iv)^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)}
从而有:
(
1
+
a
+
b
i
n
)
n
=
[
(
1
+
a
n
)
+
i
b
n
]
n
=
r
n
(
cos
θ
n
+
i
sin
θ
n
)
{\displaystyle (1+\frac{a+bi}{n})^n=[(1+\frac{a}{n})+i\frac{b}{n}]^n=r_n(\cos\theta_n+i\sin\theta_n)}
假设
n
>
|
a
|
{\displaystyle n>|a|}
,则:
r
n
=
[
(
1
+
a
n
)
2
+
(
b
n
)
2
]
n
2
,
θ
n
=
n
arctan
b
n
1
+
a
n
{\displaystyle r_n=[(1+\frac{a}{n})^2+(\frac{b}{n})^2]^\frac{n}{2},\theta_n=n\arctan\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}}}
从而有:
lim
n
→
∞
ln
r
n
=
lim
n
→
∞
[
n
2
ln
(
1
+
2
a
n
+
a
2
+
b
2
n
2
)
]
=
lim
n
→
∞
[
n
2
(
2
a
n
+
a
2
+
b
2
n
2
)
]
=
a
{\displaystyle \begin{align}
\lim_{n\rightarrow\infty}\ln r_n
&=\lim_{n\rightarrow\infty}[\frac{n}{2}\ln(1+\frac{2a}{n}+\frac{a^2+b^2}{n^2})]\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}[\frac{n}{2}(\frac{2a}{n}+\frac{a^2+b^2}{n^2})]\\
&=a\\
\end{align}
}
这一步骤用到
ln
(
1
+
x
)
≈
x
{\displaystyle \ln (1+x) \approx x}
(墨卡托级数 )
即:
lim
n
→
∞
r
n
=
lim
n
→
∞
e
ln
r
n
=
e
a
{\displaystyle
\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\ln r_n}=e^a}
又有:
lim
n
→
∞
θ
n
=
lim
n
→
∞
(
n
arctan
b
n
1
+
a
n
)
=
lim
n
→
∞
(
n
b
n
1
+
a
n
)
=
b
{\displaystyle \begin{align}
\lim_{n\rightarrow\infty}\theta_n
&=\lim_{n\rightarrow\infty}(n\arctan\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}})\\
&=\lim_{n\rightarrow\infty}(n\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}})\\
&=b\\
\end{align}}
从而可以证明:
lim
n
→
∞
(
1
+
a
+
b
i
n
)
n
=
e
a
(
cos
b
+
i
sin
b
)
{\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{a+bi}{n})^n=e^a(\cos b+i\sin b)}
即:
e
a
+
i
b
=
e
a
(
cos
b
+
i
sin
b
)
{\displaystyle e^{a+ib} = e^a(\cos b+i\sin b)}
令
a
=
0
{\displaystyle a=0}
,可得欧拉公式。
证毕。[7]
验证方法
虽然下列方法(尤其是方法一)被广泛介绍,但由于在复数域中的泰勒级数展开、求导等运算均需要用到欧拉公式,造成
循环论证 ,且有些方法在函数的定义域和性质上语焉不详,故而下列方法均应为检验方法,而非严谨的证明方法。对于类似方法也应注意甄别。
方法一:泰勒级数
把函数
e
x
{\displaystyle e^x \,}
、
cos
x
{\displaystyle \cos x\, }
和
sin
x
{\displaystyle \sin x\,}
写成泰勒级数形式:
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
{\displaystyle e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
⋯
{\displaystyle \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots}
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
{\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots}
将
x
=
i
z
{\displaystyle x=iz\,}
代入
e
x
{\displaystyle e^x \,}
可得:
e
i
z
=
1
+
i
z
+
(
i
z
)
2
2
!
+
(
i
z
)
3
3
!
+
(
i
z
)
4
4
!
+
(
i
z
)
5
5
!
+
(
i
z
)
6
6
!
+
(
i
z
)
7
7
!
+
(
i
z
)
8
8
!
+
⋯
=
1
+
i
z
−
z
2
2
!
−
i
z
3
3
!
+
z
4
4
!
+
i
z
5
5
!
−
z
6
6
!
−
i
z
7
7
!
+
z
8
8
!
+
⋯
=
(
1
−
z
2
2
!
+
z
4
4
!
−
z
6
6
!
+
z
8
8
!
−
⋯
)
+
i
(
z
−
z
3
3
!
+
z
5
5
!
−
z
7
7
!
+
⋯
)
=
cos
z
+
i
sin
z
{\displaystyle
\begin{align}
e^{iz} & = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
& = 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
& = \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
& = \cos z + i\sin z
\end{align}
}
方法二:求导法
对于所有
x
∈
I
{\displaystyle x \in I}
,定义函数
f
(
x
)
=
cos
x
+
i
sin
x
e
i
x
{\displaystyle f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}
由于
e
i
x
⋅
e
−
i
x
=
e
0
=
1
{\displaystyle e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1}
可知
e
i
x
{\displaystyle e^{ix}\,}
不可能为0,因此以上定义成立。
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
之导数为:
f
′
(
x
)
=
(
−
sin
x
+
i
cos
x
)
⋅
e
i
x
−
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
i
⋅
e
i
x
(
e
i
x
)
2
=
−
sin
x
⋅
e
i
x
−
i
2
sin
x
⋅
e
i
x
(
e
i
x
)
2
=
−
sin
x
⋅
e
i
x
+
sin
x
⋅
e
i
x
(
e
i
x
)
2
=
0
{\displaystyle
\begin{align}
f'(x)& = \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
& = \frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
& = \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\
& = 0
\end{align}
}
设
[
a
,
b
]
∈
I
{\displaystyle [a,b] \in I}
和
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c \in (a,b)}
f
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
.
{\displaystyle f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.}
(拉格朗日中值定理 )
∵
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \because f'(x)=0}
∴
f
′
(
c
)
=
0
{\displaystyle \therefore f'(c)=0}
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
因此
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
必是常数函数 。
f
(
x
)
=
f
(
0
)
{\displaystyle f(x)=f(0)}
cos
x
+
i
sin
x
e
i
x
=
cos
0
+
i
sin
0
e
0
=
1
{\displaystyle \frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}} =\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0} =1}
重新整理,即可得到:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix} = \cos x + i\sin x}
方法三:微积分
找出一个函数,使得
d
y
d
x
=
i
y
{\displaystyle \frac{dy}{dx}=iy}
及
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(0)=1}
d
d
x
e
i
x
=
i
e
i
x
=
i
y
{\displaystyle \frac{d}{dx}e^{ix}=ie^{ix}=iy}
d
d
x
(
cos
x
+
i
sin
x
)
=
−
sin
x
+
i
cos
x
=
i
(
i
sin
x
+
cos
x
)
=
i
y
{\displaystyle \begin{align}\frac{d}{dx}(\cos x+i \sin x) &= -\sin x + i \cos x \\ & =i (i \sin x + \cos x) \\ &=iy\end{align}}
e
i
0
=
e
0
=
1
{\displaystyle e^{i0}=e^{0}=1}
cos
0
+
i
sin
0
=
1
+
i
(
0
)
=
1
{\displaystyle \cos0 +i\sin 0=1+i(0)=1}
如果使用积分法,
i
y
{\displaystyle iy}
的原函数是以上两个函数。
x
=
0
{\displaystyle x=0}
时,原函数的值相等,所以以上两个函数相等。
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix} = \cos x + i\sin x}
cis函数
在复分析领域,欧拉公式 亦可以以函数 的形式表示
cis
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle \operatorname{cis} \theta = \cos \theta+i\sin \theta}
cis
θ
=
e
i
θ
{\displaystyle \operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}}
并且一般定义域 为
θ
∈
R
{\displaystyle \theta \in \mathbb{R}\,}
,值域为
θ
∈
C
{\displaystyle \theta \in \mathbb{C}\,}
(复平面上的所有单位向量)。
当一复数的模为1,其反函数就是辐角 (arg函数 )。
当
θ
{\displaystyle \theta}
值为复数时,cis函数仍然是有效的,所以有些人可利用cis函数将欧拉公式 推广到更复杂的版本。[2]
证明和角公式
由于
e
i
α
=
cos
α
+
i
sin
α
{\displaystyle e^{i \alpha}=\cos \alpha+i \sin \alpha}
且
e
i
β
=
cos
β
+
i
sin
β
{\displaystyle e^{i \beta}=\cos \beta+i \sin \beta}
,则有
e
i
(
α
+
β
)
=
cos
(
α
+
β
)
+
i
sin
(
α
+
β
)
=
e
i
α
+
i
β
=
e
i
α
×
e
i
β
=
(
cos
α
+
i
sin
α
)
×
(
cos
β
+
i
sin
β
)
=
(
cos
α
×
cos
β
+
i
sin
α
×
i
sin
β
)
+
(
i
sin
α
×
cos
β
+
cos
α
×
i
sin
β
)
=
(
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
)
+
i
(
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
)
{\displaystyle
\begin{align}
e^{i (\alpha+\beta)}&=\cos (\alpha+ \beta)+i\sin (\alpha+ \beta) =e^{i \alpha+i \beta}\\
&=e^{i \alpha} \times e^{i \beta}\\
& =(\cos \alpha + i\sin \alpha) \times (\cos \beta + i\sin \beta)\\
& =(\cos \alpha \times \cos \beta+i\sin \alpha \times i\sin \beta)+(i\sin \alpha \times \cos \beta+\cos \alpha \times i\sin \beta)\\
& =(\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta)+i(\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta)\\
\end{align}
}
实部等于实部,虚部等于虚部,因此
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos (\alpha+ \beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta}
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin (\alpha+ \beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta}
在复分析的应用
这公式可以说明当
x
{\displaystyle x}
为实数 时,函数
e
i
x
{\displaystyle e^{ix}}
可在复数 平面描述一单位圆 。且
x
{\displaystyle x}
为此平面上一条连至原点的线与正实轴的交角。先前一个在复平面的复点只能用笛卡尔坐标系 描述,欧拉公式在此提供复点至极坐标 的变换
任何复数
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
皆可记为
z
=
x
+
i
y
=
|
z
|
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
=
|
z
|
e
i
ϕ
{\displaystyle z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,}
z
¯
=
x
−
i
y
=
|
z
|
(
cos
ϕ
−
i
sin
ϕ
)
=
|
z
|
e
−
i
ϕ
{\displaystyle \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,}
在此
x
=
R
e
{
z
}
{\displaystyle x = \mathrm{Re}\{z\} \,}
为实部
y
=
I
m
{
z
}
{\displaystyle y = \mathrm{Im}\{z\} \,}
为虚部
|
z
|
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle |z| = \sqrt{x^2+y^2}}
为
z
{\displaystyle z}
的模
ϕ
=
a
t
a
n
2
(
y
,
x
)
{\displaystyle \phi = \mathrm{atan2}{(y,x)}}
,其中
a
t
a
n
2
(
y
,
x
)
=
{
arctan
(
y
x
)
x
>
0
π
+
arctan
(
y
x
)
y
≥
0
,
x
<
0
−
π
+
arctan
(
y
x
)
y
<
0
,
x
<
0
π
2
y
>
0
,
x
=
0
−
π
2
y
<
0
,
x
=
0
undefined
y
=
0
,
x
=
0
{\displaystyle \mathrm{atan2}{(y,x)}= \begin{cases}
\arctan\left(\frac y x\right) & \qquad x > 0 \\
\pi + \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad y \ge 0 , x < 0 \\
-\pi + \arctan\left(\frac y x\right) & \qquad y < 0 , x < 0 \\
\frac{\pi}{2} & \qquad y > 0 , x = 0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad y < 0 , x = 0 \\
\text{undefined} & \qquad y = 0, x = 0
\end{cases}}
参见
参考资料
↑ Eulers Formula . 密苏里科技大学 . [2021-06-13 ] .
↑ 2.0 2.1 Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X .
↑ Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. 1977: 22-10. ISBN 0-201-02010-6 .
↑ Bernoulli, Johann. Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702, 1702 : 197–289.
↑ 5.0 5.1 John Stillwell. Mathematics and Its History. Springer. 2002.
↑ Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle of Introduction to the Analysis of the Infinite , page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).
↑ 张, 筑生. 数学分析新讲(第一册). 北京大学出版社. 1990.