二次方程

二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程。

一元二次方程

方程的一般形式

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为：$ax^2+bx+c=0\,$，其中 $a\ne 0$。$ax^2\,$为方程的二次项，$a\,$为方程的二次项系数；$bx\,$为一次项，$b\,$为一次项系数；$c\,$为常数项。若$a=0\,$，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。

求根公式

■$y=\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{4}{3}\,$
■$y=-\frac{4}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\,$
■$y=x^2+\frac{1}{2}\,$

一元二次方程根的判别式为$\Delta=b^2-4ac\,$。

若$\Delta>0\,$，则该方程有两个不相等的实数根： $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,$；

若$\Delta=0\,$，则该方程有两个相等的实数根： $x_{1,2} = -\frac{b}{2a}\,$；

若$\Delta<0\,$，则该方程有一对共轭复数根： $x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\,$。

由上可知，在实数范围内求解一元二次方程，当$\Delta\geq0\,$时，方程才有根（有两个不等实数根或两个相等实数根）；当$\Delta<0\,$时，方程无解。

根与系数的关系

更多信息：韦达定理

设$x_1\,$，$x_2\,$是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0\,$ （$a\ne0\,$ ）的两根，则

两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}$

• 一元二次方程
• 二元二次方程
• 高元二次方程

求根公式的由来

中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做“根”，其后译成拉丁文radix。

我们通常把 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 称之为 $ax^2+bx+c=0\,$ 的求根公式：

$$\begin{align} ax^2+bx+c&=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0 \\ x^2+\frac{b}{a}x+\left (\frac{b}{2a} \right )^2-\left (\frac{b}{2a} \right )^2+\frac{c}{a}&=0 \\ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}&=0 \\ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2&=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \\ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x+\frac{b}{2a}&=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}$$

或不将$x^2$系数化为1：

$$\begin{align} ax^2+bx+c&=0 \\ ax^2+bx+ \left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2&=\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c \\ \left (x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2&=\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c \\ x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}&=\pm\sqrt{\left (\frac{b}{2\sqrt{a}} \right)^2 - c} \\ x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a} - c} \\ x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} \\ x+\frac{b}{2a}&=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}} \\ x&=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \\ x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}$$

对应函数的极值

设 $y=ax^2+bx+c\,$（$a \ne 0\,$），
对$x\,$求导，得

$\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x} = 2ax+b$

令 $\frac{\mathop{\mbox{d}}y}{\mathop{\mbox{d}}x}=0$，得

$\begin{align}x&=-\frac{b}{2a} \end{align}$

即为 $y\,$的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。 将 $x=-\frac{b}{2a}$ 代入 $y\,$，可得

$\begin{align} y&=-\frac{b^2-4ac}{4a} \end{align}$

即为 $y\,$ 的极值。

根据函数取极值的充分条件，即：
$f''(x)<0\,$，$x\,$是$f(x)\,$ 的极大值点，
$f''(x)>0\,$，$x\,$是$f(x)\,$ 的极小值点；
由$\frac{\mathop{\mbox{d}}^2y}{\mathop{\mbox{d}}x^2}=2a$，可知：
当$a<0\,$时（抛物线开口向下），$x=-\frac{b}{2a}$为$y\,$的极大值点；
当$a>0\,$时（抛物线开口向上），$x=-\frac{b}{2a}$为$y\,$的极小值点。

参见

• 一次方程
• 抛物线
• 配方法
• 圆锥曲线