单位根

复平面上的三次单位根

数学上，$\,n\,$次单位根是$\,n\,$次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正多边形的顶点，但最多只可有两个顶点同时标在实数线上。

定义

$z^n = 1 \qquad (n = 1, 2, 3, \cdots )$

这方程的复数根 $z \,$为$n \,$次单位根。

单位的 $n \,$次根有 $n \,$个：

$e^{\frac{2 \pi k {i} }{n} } \qquad (k = 0, 1, 2, \cdots, n - 1)$。

本原根

单位的 $n \,$次根以乘法构成$n$阶循环群。它的生成元是 $n \,$次本原单位根。$n \,$次本原单位根是$e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} }$，其中$k\,$和$n\,$互质。$n\,$次本原单位根数目为欧拉函数$\varphi (n)$。

例子

一次单位根有一个: $1 \,$。

二次单位根有两个: $+1\,$和$-1\,$，只有$-1\,$是本原根。

三次单位根是

$\left\{ 1, \frac{-1+ \sqrt{3}{i}}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}{i}}{2} \right\} ,$

其中${\mathrm{i}} \,$是虚数单位；除$1\,$外都是本原根。

四次单位根是

$\left\{ 1, +{i}, -1, -{i} \right\} ,$

其中$+{\mathrm{i}} \,$和$-{\mathrm{i}}\,$是本原根。

和式

当$n\,$不小于$2\,$时，$n\,$次单位根总和为$0\,$。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数：

$\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{ 2 \pi k {i} }{n} } = \frac{e^{\frac{ 2 \pi k {n} i}{n} } - 1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = \frac{1-1}{e^{\frac{ 2 \pi {i} }{n} } - 1} = 0$。

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。

还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理，由分圆方程的$x^{n-1}\,$项系数为零得出。